Otimização no centro da teoria econômica. Quais métodos de otimização existem? Métodos para otimizar decisões de gestão Teoria da otimização

1. Problemas de programação matemática

onde é uma função escalar em um conjunto de dimensão finita:

• - problemas de programação linear (PL): - linear, o conjunto admissível X é convexo, definido por equações lineares e inequações. (Núcleo LP - método simplex; teoria da dualidade, função de Lagrange, existência de ponto de sela)
• - problemas LP inteiros (soluções ótimas Z);
• - problemas de programação quadrática;
• - problemas de programação discreta (conjunto admissível - finito);
• - problemas de programação convexa (X é convexo, - convexo; o teorema de Kuhn-Tucker é um análogo da teoria da dualidade em LP);
• - problemas de programação não convexa.
• 2. Problemas de otimização multicritério (o critério de otimalidade consiste em diversas funções escalares que precisam ser maximizadas ou minimizadas).
• 3. Problemas de cálculo de variações.

Tarefa VI: encontrar X é um conjunto arbitrário, por exemplo, um funcional, cujo argumento é na maioria das vezes funções (ou seja, um subconjunto do espaço de funções). VI é caracterizado pelo fato de que o conjunto X é na maioria das vezes um espaço de funções continuamente diferenciáveis.

4. Problemas de controle ótimo.

Um exemplo clássico de problema de OU é o problema de voo de foguete.

O processo de movimento do foguete é dado por uma equação diferencial, condições iniciais,.

O problema do amplificador operacional é caracterizado por diferentes tipos de variáveis: fase (posição no espaço) e parâmetros de controle (o conjunto de controles admissíveis, que geralmente é um conjunto de funções contínuas por partes).

Além disso, geralmente.

É necessário escolher o controle de forma a minimizar determinadas funcionalidades (consumo de combustível) e ao mesmo tempo chegar a um determinado ponto do espaço.

Encenação problema clássico otimização

Função alvo, cujo valor caracteriza o grau de cumprimento da meta (em nome da qual a tarefa é definida ou resolvida);

X é o conjunto de soluções viáveis, dentre os elementos dos quais é realizada a busca; - espaço euclidiano n-dimensional.

Definição 1. Um ponto é chamado de ponto mínimo [máximo] local de uma função no conjunto X se houver uma vizinhança do ponto tal que seja verdadeira.

Em outras palavras, o máximo (mínimo) condicional em um ponto é o maior (menor) valor da função em relação não a todos os pontos de uma determinada vizinhança do ponto, mas apenas àqueles que pertencem ao conjunto X.

Deve-se notar que a função em si pode não ter um extremo, mas sim um extremo condicional.

Definição 2. Um ponto é chamado de ponto de mínimo [máximo] global (absoluto) de uma função no conjunto X se a função atingir seu valor mínimo [máximo] neste ponto, ou seja, .

Notas.

• 1) O problema se reduz ao problema de encontrar o mínimo da seguinte forma: .
• 2) Se, então o problema (1) é chamado de problema de otimização incondicional. Se X for especificado por condições (restrições) impostas a x, então o problema (1) é chamado de problema de otimização restrita.
• 3) Denotemos o conjunto de pontos de mínimo global de uma função no conjunto X.

Então resolver o problema (1) significa:

Encontre o conjunto e o valor da função objetivo nos pontos deste conjunto;

• - se, então encontre;
• - certifique-se de que a função não esteja limitada abaixo em X;
• - certifique-se disso.

Definição 1. O gradiente de uma função continuamente diferenciável em um ponto x é um vetor coluna cujos elementos são as derivadas parciais de primeira ordem calculadas neste ponto:

Definição 2. A matriz Hessiana de uma função duas vezes continuamente diferenciável em um ponto x é a matriz de derivadas parciais de segunda ordem calculada em um determinado ponto:

A matriz Hessiana é uma matriz de tamanho simétrico.

O gradiente da função é direcionado normal à superfície plana (ou seja, perpendicular ao plano tangente desenhado no ponto x) na direção do maior aumento da função em um determinado ponto.

O vetor antigradiente é um vetor igual em magnitude ao vetor gradiente, mas de direção oposta.

O vetor antigradiente indica a direção de maior diminuição da função em um determinado ponto.

Usando o gradiente e a matriz Hessiana, usando a expansão de Taylor, o incremento da função no ponto x pode ser escrito como:

Norma vetorial euclidiana

A soma de todos os termos da expansão tendo ordem superior ao segundo em relação ao incremento do argumento.

A expressão é chamada de forma quadrática de variáveis.

Conseqüentemente, em um ponto estacionário (no qual o gradiente da função é zero), o sinal do incremento da função coincide com o sinal da expressão.

Definição 3. A forma quadrática (bem como a matriz Hessiana correspondente) é chamada:

definido positivo (>0) se a desigualdade for válida para qualquer valor diferente de zero;

definido negativo () se a desigualdade for válida para qualquer valor diferente de zero;

semidefinido positivo () se a desigualdade 0 for válida para qualquer e houver um vetor diferente de zero para o qual =0;

semidefinido negativo () se a desigualdade 0 for válida para qualquer e houver um vetor diferente de zero para o qual;

indefinido (), se houver vetores tais que as desigualdades sejam satisfeitas, ;

identicamente igual a zero (), se for válido para algum.

Critério de Sylvester. 1) Para que uma forma quadrática com matriz seja positiva definida, é necessário e suficiente que todos os menores angulares da matriz sejam positivos.

2) Para que uma forma quadrática com matriz seja negativa definida, é necessário e suficiente que todos os menores angulares de uma matriz de ordem ímpar sejam negativos e os menores angulares de ordem par sejam positivos.

Teorema (Condições suficientes para um extremo incondicional) Se uma função que é duas vezes continuamente diferenciável em um ponto estacionário tem sua segunda diferencial neste ponto é uma forma quadrática definida positiva, então o ponto é um ponto de mínimo estrito, e se for negativo definido, então é um ponto de máximo estrito, e se for de forma indefinida, então não há extremo no ponto em consideração.

Exemplo:

é definido positivo para qualquer X, portanto o ponto (2, 4, 6) é um ponto de mínimo local, e como este é o único ponto estacionário, é também um ponto de mínimo global.

Assim, para resolver um problema de otimização usando o método clássico, é necessário resolver um sistema de equações, o que não pode ser feito analiticamente, exceto para uma classe muito restrita de tais sistemas (por exemplo, um sistema de equações lineares de ordem inferior). Então também teremos que estabelecer a definição do Hessiano, o que também é uma tarefa completamente não trivial no caso de grandes dimensões. Tudo isso leva à necessidade de desenvolver procedimentos iterativos para resolução de problemas de otimização.

A opção de decisão mais aceitável tomada em Nível gerencial Em relação a qualquer questão, ela é considerada ótima, e o processo de busca por ela é considerado otimização.

A interdependência e complexidade dos aspectos organizacionais, socioeconômicos, técnicos e outros da gestão da produção se resumem atualmente à tomada de uma decisão de gestão que afeta um grande número de diferentes tipos de fatores que estão intimamente interligados, pelo que se torna impossível analisar cada um separadamente usando métodos analíticos tradicionais.

A maioria dos factores são decisivos no processo de tomada de decisão e (inerentemente) não podem ser quantificados. Há também aqueles que permanecem praticamente inalterados. A este respeito, houve necessidade de desenvolver métodos especiais que pudessem garantir a seleção de importantes decisões de gestão no quadro de problemas organizacionais, económicos e técnicos complexos (avaliações de peritos, investigação operacional e métodos de otimização, etc.).

Métodos voltados para a pesquisa operacional são utilizados para encontrar soluções ótimas em áreas de gestão como organização de processos de produção e transporte, planejamento de produção em larga escala, fornecimento de materiais e técnicos.

Os métodos de otimização de soluções envolvem pesquisas por meio da comparação de estimativas numéricas de uma série de fatores, cuja análise não pode ser realizada por métodos tradicionais. A solução ótima é a melhor entre as opções possíveis em relação ao sistema econômico, e a mais aceitável em relação aos elementos individuais do sistema é a subótima.

A essência dos métodos de pesquisa operacional

Conforme mencionado anteriormente, eles constituem métodos para otimizar as decisões de gestão. Sua base são modelos matemáticos (determinísticos) probabilísticos que representam o processo, tipo de atividade ou sistema em estudo. Este tipo de modelo representa uma característica quantitativa do problema correspondente. Eles servem de base para a tomada de decisões gerenciais importantes no processo de busca da opção ideal.

Uma lista de questões que desempenham um papel significativo para os gerentes diretos de produção e que são resolvidas durante a utilização dos métodos em consideração:

• o grau de validade das opções de decisão escolhidas;
• quão melhores são elas do que as alternativas;
• grau de consideração dos fatores determinantes;
• qual é o critério para a otimalidade das soluções selecionadas.

Esses métodos de otimização de decisão (gerencial) visam encontrar soluções ótimas para o maior número possível de firmas, empresas ou suas divisões. Eles são baseados em conquistas existentes em disciplinas estatísticas, matemáticas e econômicas (teoria dos jogos, filas, gráficos, programação ótima, estatística matemática).

Métodos de avaliação especializada

Esses métodos de otimização das decisões de gestão são utilizados quando o problema não é parcial ou totalmente passível de formalização e sua solução não pode ser encontrada por métodos matemáticos.

Expertise é o estudo de questões especiais complexas na fase de desenvolvimento de uma decisão de gestão específica por pessoas relevantes que possuem uma base de conhecimento especial e experiência impressionante, a fim de obter conclusões, recomendações, opiniões e avaliações. No processo de investigação especializada, as mais recentes conquistas da ciência e da tecnologia são utilizadas no âmbito da especialização do perito.

Os métodos considerados para otimizar uma série de decisões de gestão (avaliações de especialistas) são eficazes na resolução das seguintes tarefas de gestão no campo da produção:

1. O estudo de processos, fenômenos, situações e sistemas complexos que se caracterizam por características informais e qualitativas.
2. Ordenação e determinação, segundo um determinado critério, dos factores significativos e decisivos para o funcionamento e desenvolvimento do sistema produtivo.
3. Os métodos de otimização em consideração são particularmente eficazes na previsão de tendências no desenvolvimento de um sistema de produção, bem como na sua interação com o ambiente externo.
4. Maior confiabilidade avaliação especializada visam predominantemente funções de natureza quantitativa e qualitativa, através da média das opiniões de especialistas qualificados.

E estes são apenas alguns métodos para otimizar uma série de decisões de gestão (avaliação de especialistas).

Classificação dos métodos em consideração

Os métodos de resolução de problemas de otimização, baseados no número de parâmetros, podem ser divididos em:

• Métodos de otimização unidimensionais.
• Métodos de otimização multidimensional.

Eles também são chamados de “métodos de otimização numérica”. Para ser mais preciso, estes são algoritmos para pesquisá-lo.

Como parte do uso de derivativos, os métodos são:

• métodos de otimização direta (ordem zero);
• métodos de gradiente (1ª ordem);
• Métodos de 2ª ordem, etc.

A maioria dos métodos de otimização multidimensional está próxima do problema do segundo grupo de métodos (otimização unidimensional).

Métodos de otimização unidimensional

Quaisquer métodos de otimização numérica baseiam-se no cálculo aproximado ou exato de características como os valores da função objetivo e funções que definem o conjunto admissível e suas derivadas. Assim, para cada tarefa individual, a questão da escolha das características de cálculo pode ser resolvida em função das propriedades existentes da função em consideração, das capacidades disponíveis e das limitações de armazenamento e processamento da informação.

Existem os seguintes métodos para resolver problemas de otimização (unidimensionais):

• Método Fibonacci;
• dicotomias;
• proporção áurea;
• dobrando o passo.

Método Fibonacci

Primeiro você precisa definir as coordenadas do ponto x no intervalo como um número igual à razão entre a diferença (x - a) e a diferença (b - a). Portanto, a tem uma coordenada 0 em relação ao intervalo, e b tem uma coordenada 1, e o ponto médio é ½.

Se assumirmos que F0 e F1 são iguais entre si e assumirmos o valor 1, F2 será igual a 2, F3 - 3, ..., então Fn = Fn-1 + Fn-2. Portanto, Fn são números de Fibonacci, e a busca de Fibonacci é a estratégia ideal para a chamada busca sequencial do máximo devido ao fato de estar intimamente relacionada a eles.

Como parte da estratégia ótima, costuma-se escolher xn - 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. Para qualquer um dos dois intervalos (ou), cada um dos quais pode atuar como um intervalo estreito de incerteza, o ponto (herdado) relativo ao novo intervalo terá coordenadas ou. A seguir, é tomado como xn - 2 um ponto que possui uma das coordenadas apresentadas em relação ao novo intervalo. Se você usar F(xn - 2), um valor de função herdado do intervalo anterior, será possível reduzir o intervalo de incerteza e herdar um valor de função.

Na etapa final será possível passar para um intervalo de incerteza como , enquanto o ponto médio é herdado da etapa anterior. Como x1, é definido um ponto que possui uma coordenada relativa de ½+ε, e o intervalo de incerteza final será ou [½, 1] em relação a .

Na 1ª etapa, a duração desse intervalo foi reduzida para Fn-1:Fn (de um). Nas etapas de acabamento, a redução nos comprimentos dos intervalos correspondentes é representada pelos números Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2, ..., F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε ). Assim, a duração de tal intervalo como versão final assumirá o valor (1 + 2ε) :Fn.

Se negligenciarmos ε, então assintoticamente 1: Fn será igual a rn, com n→∞, e r = (√5 - 1) : 2, que é aproximadamente igual a 0,6180.

É importante notar que assintoticamente para n significativo, cada etapa subsequente da busca de Fibonacci estreita significativamente o intervalo considerado pelo coeficiente acima. Este resultado deve ser comparado com 0,5 (o coeficiente de estreitamento do intervalo de incerteza dentro do método da bissecção para encontrar o zero da função).

Método de dicotomia

Se você imaginar uma determinada função objetivo, primeiro precisará encontrar seu extremo no intervalo (a; b). Para isso, o eixo das abcissas é dividido em quatro partes equivalentes, então é necessário determinar o valor da função em questão em 5 pontos. A seguir, é selecionado o mínimo entre eles. O extremo da função deve estar dentro do intervalo (a"; b"), que é adjacente ao ponto mínimo. Os limites de pesquisa são reduzidos em 2 vezes. E se o mínimo estiver localizado no ponto a ou b, ele diminuirá quatro vezes. O novo intervalo também é dividido em quatro segmentos iguais. Devido ao fato de os valores desta função em três pontos terem sido determinados na etapa anterior, é então necessário calcular a função objetivo em dois pontos.

Método da proporção áurea

Para valores significativos de n, as coordenadas de pontos como xn e xn-1 são próximas de 1 - r, igual a 0,3820, e r ≈ 0,6180. O impulso desses valores está muito próximo da estratégia ideal desejada.

Se assumirmos que F(0,3820) > F(0,6180), então o intervalo é delineado. Porém, devido ao fato de 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, então F já é conhecido neste ponto. Consequentemente, em cada etapa, a partir da 2ª, é necessário apenas um cálculo da função objetivo, e cada etapa reduz a duração do intervalo considerado por um fator de 0,6180.

Ao contrário da pesquisa de Fibonacci, este método não requer a fixação do número n antes de iniciar a pesquisa.

A “seção áurea” de uma seção (a; b) é uma seção na qual a razão entre seu comprimento r e a parte maior (a; c) é idêntica à razão entre a parte maior r e a menor, ou seja , (a; c) a (c; b). Não é difícil adivinhar que r é determinado pela fórmula acima. Consequentemente, para n significativo, o método de Fibonacci entra neste.

Método de duplicação de etapas

A essência é a busca pela direção de diminuição da função objetivo, movimento nesta direção no caso de uma busca bem-sucedida com passo crescente.

Primeiro, determinamos a coordenada inicial M0 da função F(M), o valor mínimo do passo h0 e a direção da busca. Então definimos a função no ponto M0. A seguir, damos um passo e determinamos o valor desta função neste ponto.

Se a função for menor que o valor do passo anterior, o próximo passo deverá ser realizado na mesma direção, primeiro aumentando-o em 2 vezes. Se o seu valor for maior que o anterior, será necessário alterar a direção da busca e então começar a se mover na direção selecionada com os passos h0. O algoritmo apresentado pode ser modificado.

Métodos de otimização multidimensional

O método de ordem zero acima mencionado não leva em consideração as derivadas da função minimizada, razão pela qual a sua utilização pode ser eficaz caso surja alguma dificuldade no cálculo das derivadas.

O grupo de métodos de 1ª ordem também é chamado de métodos gradientes, pois para estabelecer a direção de busca é utilizado o gradiente de uma determinada função - um vetor, cujos componentes são as derivadas parciais da função minimizada em relação aos parâmetros otimizados correspondentes .

No grupo dos métodos de 2ª ordem são utilizadas 2 derivadas (a sua utilização é bastante limitada devido às dificuldades no seu cálculo).

Lista de métodos de otimização irrestritos

Ao usar a pesquisa multidimensional sem usar derivadas, os métodos de otimização irrestrita são os seguintes:

• Hook e Jeeves (realizando 2 tipos de pesquisa - baseada em padrões e exploratória);
• minimização pelo simplex correto (busca do ponto mínimo da função correspondente comparando seus valores nos vértices do simplex em cada iteração individual);
• descida coordenada cíclica (usando vetores coordenados como pontos de referência);
• Rosenbrock (baseado no uso de minimização unidimensional);
• minimização usando um simplex deformado (modificação do método de minimização usando um simplex regular: adicionando um procedimento de compressão e alongamento).

Na situação de utilização de derivadas no processo de busca multidimensional, destaca-se o método da descida mais íngreme (o procedimento mais fundamental para minimizar uma função diferenciável com diversas variáveis).

Existem também outros métodos que utilizam direções conjugadas (método Davidon-Fletcher-Powell). Sua essência é a representação das direções de busca como Dj*grad(f(y)).

Classificação de métodos de otimização matemática

Convencionalmente, com base na dimensão das funções (alvo), são elas:

• com 1 variável;
• multidimensional.

Dependendo da função (linear ou não linear), existe um grande número de métodos matemáticos que visam encontrar um extremo para resolver o problema.

Com base no critério de utilização de derivadas, os métodos matemáticos de otimização são divididos em:

• métodos para calcular 1 derivada da função objetivo;
• multidimensional (gradiente de quantidade do primeiro vetor derivado).

Com base na eficiência do cálculo, existem:

• métodos para cálculo rápido de extremos;
• cálculo simplificado.

Esta é uma classificação condicional dos métodos em consideração.

Otimização de Processos de Negócios

Vários métodos podem ser usados ​​aqui, dependendo dos problemas a serem resolvidos. É habitual distinguir os seguintes métodos para otimizar processos de negócios:

• exceções (redução dos níveis do processo existente, eliminação das causas de interferência e controle de entrada, redução das rotas de transporte);
• simplificação (facilitação do processamento de pedidos, redução da complexidade da estrutura do produto, distribuição do trabalho);
• padronização (uso de programas, métodos, tecnologias especiais, etc.);
• aceleração (engenharia paralela, estimulação, projeto operacional de protótipos, automação);
• mudança (mudanças nas matérias-primas, tecnologia, métodos de trabalho, pessoal, sistemas de trabalho, volume de pedidos, procedimentos de processamento);
• garantindo a interação (em relação a unidades organizacionais, pessoal, sistema de trabalho);
• seleção e inclusão (em relação aos processos e componentes necessários).

Otimização tributária: métodos

A legislação russa oferece ao contribuinte oportunidades muito ricas para reduzir impostos, razão pela qual é costume distinguir tais métodos destinados a minimizá-los como gerais (clássicos) e especiais.

Os métodos gerais de otimização fiscal são os seguintes:

• elaboração da política contabilística da empresa com o máximo aproveitamento possível das oportunidades proporcionadas pela legislação russa (procedimento de baixa de pequenas empresas, escolha de um método de cálculo das receitas da venda de mercadorias, etc.);
• otimização por meio de contrato (celebração de transações preferenciais, uso claro e competente da redação, etc.);
• aplicação de diversos tipos de benefícios e isenções fiscais.

O segundo grupo de métodos também pode ser utilizado por todas as empresas, mas ainda tem um escopo de aplicação bastante restrito. Métodos especiais as otimizações fiscais são as seguintes:

• substituição de relações (uma operação que envolve tributação onerosa é substituída por outra, o que permite atingir um objetivo semelhante, mas ao mesmo tempo utilizar um tratamento fiscal preferencial).
• divisão de relações (substituição de apenas parte de uma transação comercial);
• diferimento do pagamento do imposto (adiamento do momento do aparecimento do objeto tributável para outro período civil);
• redução direta do objeto de tributação (eliminação de muitas transações ou bens tributáveis ​​​​sem impacto negativo nos principais atividade econômica empresas).

UDC 711.4 MAZAEV A. G

Métodos e critérios de otimização em teoria moderna reassentamento

O artigo discute o conceito de otimização no planejamento urbano. Mostra-se a origem do termo “otimização”, sua ligação com os termos básicos do campo da metodologia da ciência e, em particular, da economia. São mostradas as possibilidades de maior desenvolvimento do conceito de otimização no planejamento urbano. Como conclusões, é proposto um conjunto de critérios de otimização aplicados ao planejamento urbano.

Palavras-chave: otimização em planejamento urbano, teoria da otimização, critérios e métodos de otimização, critério de Pareto.

MÉTODOS E CRITÉRIOS DE OTIMIZAÇÃO NA TEORIA MODERNA DE ASSENTAMENTO

Na cláusula é considerado o conceito de otimização urbanística. Mostra-se a origem do termo otimização, sua comunicação com os conceitos básicos no campo da metodologia de uma ciência, a economia. São consideradas oportunidades de desenvolvimento do conceito de otimização no planejamento urbano moderno. O conjunto de critérios da otimização que é possível na atividade de urbanismo moderno oferece-se.

Palavras-chave: otimização urbanística, teoria da otimização, oriteria e métodos de otimização, critério de Pareto.

Mazayev Anton

Grigorievich

candidato em arquitetura, conselheiro da RAASN, chefe. Laboratório da Filial da Instituição Orçamentária do Estado Federal "TsNIIP Ministério da Construção da Rússia" UralNIIproekt

e-mail: [e-mail protegido]

O objetivo deste artigo é apresentar uma consideração teórica do conceito de “otimização” em relação aos objetos de planejamento urbano – cidades e sistemas de assentamento. Otimização da colonização de uma grande região da Rússia usando o exemplo da região dos Urais Distrito Federalé o tema do trabalho contínuo do autor pesquisa científica. A relevância deste tema está ligada à questão premente de agilizar o desenvolvimento dos sistemas regionais de liquidação do Sistema Nacional da Rússia, cujo desenvolvimento se tornou incontrolável e desequilibrado. A metodologia de desenvolvimento do tema baseia-se na teoria do desenvolvimento geopolítico do assentamento que está em formação.

O conceito de otimização em Ciência moderna

É necessário esclarecer o conceito de otimização na teoria da ciência, para depois dar sua definição em relação à teoria do assentamento. Inicialmente, o termo “otimização” surgiu na matemática: “Otimização é em matemática, ciência da computação e pesquisa operacional o problema de encontrar o extremo (mínimo ou máximo) de uma função objetivo em alguma região de um espaço vetorial de dimensão finita, limitado por um conjunto de igualdades e/ou desigualdades lineares e/ou não lineares. Estuda teoria e métodos para resolver problemas de otimização

programação matemática... (Ela) trata de métodos matemáticos para resolver problemas de encontrar as melhores opções entre todas as possíveis.” A Grande Enciclopédia Soviética esclarece: “Otimização é o processo de encontrar um extremo (máximo ou mínimo global) função específica ou escolhendo a melhor opção (ideal) entre muitas opções possíveis. A maneira mais confiável de encontrar a melhor opção é avaliação comparativa todas as opções (alternativas) possíveis". Em outras palavras, pode haver muitos critérios de otimização para o mesmo fenômeno, sistema. Você pode otimizar qualquer coisa e de acordo com um número significativo de critérios de otimização. Além disso, estes critérios podem estar em conflito entre si, e para a otimização é necessário decidir sobre eles, caso contrário a solução do problema de otimização revelar-se-á incorreta, ou seja, falsa, perigosa e ineficaz. As fontes interpretam o conteúdo da otimização de forma diferente, com base nas metas e objetivos de uma disciplina científica específica. Por exemplo, o dicionário de economia interpreta este conceito da seguinte forma: “Otimização é a determinação de valores indicadores econômicos, no qual o ótimo é alcançado, ou seja, o melhor e ideal estado do sistema. Na maioria das vezes, o ótimo corresponde a alcançar o resultado mais elevado para um determinado gasto de recursos.

ou alcançar um determinado resultado com custos mínimos de recursos.” Em outras palavras, a otimização está associada aos custos dos recursos e à eficiência do seu uso.

O conceito de otimização na teoria econômica

É na economia que as questões de otimização são levantadas com mais frequência como um problema científico e prático urgente. Dentro de teorias econômicas foi desenvolvida uma teoria desenvolvida de otimização, e a economia e a teoria do assentamento têm um objeto de estudo semelhante - a sociedade como um todo, suas necessidades econômicas, com a diferença de que a teoria do assentamento trata do aspecto espacial da vida humana.

Os economistas fornecem um grande número de definições de otimizações, que podem ser estendidas a questões de teoria de liquidação. “Otimização - maximizar o bem-estar económico da sociedade em relação aos objetivos macroeconómicos”. A partir daqui podemos derivar uma compreensão de otimização como a construção de um determinado recurso que é identificado como bom. Neste caso, estamos a falar do bem-estar económico como um bem fundamental, e a otimização está associada à obtenção não de um valor ou conjunto de valores óptimo, mas de um aumento ilimitado deste bem.

A definição mais ampla e profunda de otimização foi dada uma vez por V. Pareto: “... Qualquer mudança que não cause perdas a ninguém e que traga benefícios para algumas pessoas (de acordo com sua própria avaliação) é uma melhoria”. Este critério tem um significado muito amplo: é utilizado na resolução de tais problemas, quando a otimização significa melhorar alguns indicadores, desde que outros não se deteriorem, bem como quando se implementa uma abordagem composicional para a construção de um plano de desenvolvimento de um sistema económico, tendo em conta os interesses dos seus subsistemas constituintes (grupos). A definição acima pode ser formalizada pela seguinte afirmação: o estado da economia S* é considerado melhor, segundo V. Pareto, do que outro estado B1, se pelo menos um sujeito econômico preferir S*, e todos os outros pelo menos não o fizerem. distinguir entre esses estados, mas ao mesmo tempo não há quem prefira 81; segundo V. Pareto, o estado 8* é indiferente ao estado B1 se todas as entidades económicas não os diferenciarem; finalmente, é óptimo se não existir um estado viável da economia que seja melhor do que este. V. O critério de otimalidade de Pareto é de grande importância metodológica, pois dá uma compreensão de qual mudança sistema econômico pode ser chamado de positivo, ou seja, visando sua melhoria geral, e quais não. O crescimento do bem-estar económico de alguns sujeitos à custa de outros não pode ser considerado positivo de acordo com este critério. A Ilustração 1 mostra o efeito do critério de B. Pareto em forma de gráfico, mostrando a área de “valores aceitáveis” que proporcionam melhoria em pelo menos um indicador sem levar à deterioração dos demais.

Acreditamos que é impossível dar uma definição única e detalhada de otimização para todos os tipos de atividade humana devido à sua natureza fundamentalmente diferente. A pesquisa sobre problemas de otimização recebeu um desenvolvimento significativo na URSS devido à natureza planejada de sua economia. As questões de otimização econômica ocuparam os cientistas soviéticos até a transição para economia de mercado. Além disso, a gravidade do problema

Ilustração 1. Otimalidade de Pareto

a otimização da economia não diminuiu devido ao rápido crescimento da gama de produtos produzidos, à localização de um número significativo de instalações de produção em um grande território e, como consequência, a um grande volume de transporte de cargas. Os cientistas ocidentais enfrentaram questões semelhantes, especialmente a questão da otimização tornou-se aguda durante a Segunda Guerra Mundial, quando surgiu a necessidade de uma solução semelhante. gestão centralizada grandes volumes de tropas, equipamentos e equipamentos. Nas últimas décadas, muitas técnicas de otimização teóricas e aplicadas foram desenvolvidas, que são sistematicamente apresentadas na Figura 2.

O conceito de otimização na ciência do planejamento urbano

Este conceito no planejamento urbano foi utilizado no período soviético em vários sentidos. Em primeiro lugar, esteve associado ao conceito de otimização económica, ao serviço dos interesses económicos. O planejamento urbano foi entendido como uma das ferramentas de otimização, cuja tarefa é conciliar os interesses do complexo produtivo com os interesses da população. Surgiram vários conceitos de otimização, sendo o mais importante o conceito de GSNM - sistemas de grupo de áreas povoadas. Foi uma tentativa de optimizar o povoamento através da redução multifactorial das suas deficiências - isolamento da população rural dos locais de trabalho e dos centros culturais, expansão urbana excessiva, que cria uma enorme carga sobre a biosfera.

A implementação do conceito GSNM foi realizada no âmbito do Esquema Geral de Liquidação da URSS, desenvolvido na década de 1970. A criação do GSNM teve como objetivo otimizar o processo de aglomeração de grandes e médias cidades que ganhava força naquela época. Em vez de uma “união” arbitrária de assentamentos, deveria ter sido criada uma organização hierárquica. Outra consequência da otimização no planejamento urbano

Ilustração 2. Métodos básicos para resolução de problemas de otimização. Um resumo sistemático de suas diversas técnicas

começaram a esclarecer a questão do chamado “tamanho ótimo” das cidades. Entendeu-se que como há superpopulação excessiva em algumas cidades, então existe uma quantidade ótima dela, que pode ser calculada pela ciência do planejamento urbano. “...O conceito de uma cidade “óptima” continuou a ser um dos elementos mais essenciais da política de planeamento urbano soviético. Não havia dúvida de que tal ótimo existia. As divergências começaram ao tentar determinar que tipo de população deveria ser considerada ideal. Na década de 1920 Uma população de 50.000 habitantes parecia ideal. Era suficientemente grande para concretizar os benefícios das economias de escala e das infra-estruturas urbanas, mas não tão grande que destruísse o sentido de comunidade e a ética comunal socialista. Em meados da década de 1950. as estimativas do ótimo oscilavam entre 150 mil e 200 mil, e em 1960 saltaram para 250-300 mil pessoas, e a própria legitimidade desse conceito. foi questionado." A disputa acabou sendo escolar, pois o tamanho ótimo de uma cidade não depende do tamanho absoluto

no tamanho da sua população, mas na posição económica e geográfica no sistema de assentamento. Em outras palavras, não é o tamanho absoluto, mas o tamanho relativo da cidade que é importante, em cada caso específico diferente.

A questão desse tamanho ideal de cidade tornou-se aguda de uma nova maneira nas décadas de 1960-1970, quando o número de grandes cidades na URSS começou a crescer e suas deficiências tornaram-se perceptíveis. Um artigo com o título característico “Tamanho Máximo de uma Cidade” (1970) afirmava: “Do ponto de vista da gestão urbana, as cidades mais económicas são aquelas em que o montante de investimento de capital e os custos operacionais per capita são menores. Tanto as cidades demasiado pequenas como as cidades gigantes acabam por ser antieconómicas. Na construção urbana manifesta-se um princípio comum a todas as áreas da economia, segundo o qual uma grande unidade económica é mais eficaz do que uma pequena. Em pequenas cidades com população de até 20 mil habitantes, é necessária a criação de pequenos empreendimentos utilitários e domésticos de baixa produtividade. À medida que as cidades crescem, tornam-se mais económicas.<.>À medida que a população continua a crescer, a situação piora.<.>impossível

garantir o funcionamento normal da cidade sem grandes obras de engenharia e técnicas e meios de transporte que anteriormente não eram necessários.”

Os autores do artigo acreditam ter conseguido encontrar a resposta para o problema de otimização: “Pesando todos os prós e contras, em muitos países, incluindo a URSS, planejadores urbanos e economistas chegaram à conclusão de que atualmente é necessário limitar o crescimento de cidades com um milhão de habitantes, estimulando o desenvolvimento urbano tamanho médio(nosso itálico - A. M.)”.

Vemos que uma cidade de médio porte com população de 50 mil a 100 mil habitantes é considerada ótima. V. I. Perevedentsev não concorda com esta conclusão, que vê a solução para a questão novamente na esfera econômica, mas de forma mais profunda. Mostra a natureza não linear das dependências eficiência econômica sobre o tamanho da cidade: “Uma cidade não são apenas as casas onde as pessoas vivem, mas também as fábricas onde trabalham. O tamanho da cidade afeta a produtividade do trabalho? Sim. Uma cidade grande é benéfica do ponto de vista da produção. Esses são os benefícios de compartilhar

energia, transportes, abastecimento de água e esgotos. Trata-se da disponibilização de profissionais qualificados força de trabalho... A concentração territorial da indústria aumenta a produtividade do trabalho. Portanto, a própria cidade grande cria as condições prévias para uma maior concentração da produção.” O autor ainda observa que “manter” uma pessoa em uma cidade muito grande é mais caro que a média, mas o retorno de uma pessoa em tal cidade, em sua opinião, é maior. Ele ressalta: “O entendimento atualmente aceito sobre o tamanho ideal de uma cidade, na minha opinião, é fundamental e metodologicamente incorreto. Se levarmos em conta não só o consumo, mas também a produção, então a cidade ótima não será aquela em que a manutenção de uma pessoa é mais barata, mas aquela em que a diferença entre o que uma pessoa dá e o que é gasto com ela será o maior" [Ibid.]. O resultado é um modelo de custo-custo aplicado a um residente de uma determinada cidade, que mostra que o crescimento da eficiência económica pode ser de muito longo prazo à medida que o tamanho da cidade cresce, uma vez que devido ao efeito de cooperação, a produtividade do trabalho pode crescer dentro de uma ampla faixa. Por outras palavras, o tamanho óptimo de uma cidade pode ser tão grande quanto desejado, desde que continue a tendência para o aumento dos retornos económicos de cada indivíduo.

Ao mesmo tempo, o autor cria o conceito de tamanho ideal de cidade. Do seu ponto de vista, o tamanho ótimo de uma cidade é geralmente determinado pelo critério de conformidade do tamanho da cidade com os seus valores previamente planejados. “... A maior parte dos inconvenientes de uma cidade grande não se deve ao seu tamanho em si, mas a erros de planejamento urbano. Trata-se de erros na previsão do crescimento da cidade, inconsistência do “equipamento” da cidade com o seu tamanho, erros puramente de planeamento e, finalmente, uma abordagem económica estreita ao sector dos serviços. Muitas vezes a construção é planejada para meio milhão de habitantes, mas a cidade cresce para um milhão. Ao mesmo tempo, todas as comunicações, todas as utilidades, a estrutura da cidade e seu traçado são preservados basicamente conforme planejado no projeto inicial.” Em essência, esta afirmação encerra a discussão sobre o tamanho ideal de uma cidade - uma cidade cujo desenvolvimento corresponde ao seu próprio plano geral é reconhecida como ótima.

Deve-se dizer que, utilizando este critério, é muito difícil encontrar cidades ideais, porque, como mostram numerosos estudos, as principais disposições dos planos diretores quase nunca foram implementadas. Acontece que as cidades russas estão cronicamente num estado “não otimizado”.

Para concluir esta discussão, vale a pena citar a queixa sintomática do próprio V.I. Perevedentsev de que as cidades em seu desenvolvimento estão se afastando do estado de otimalidade, em vez de chegar a ele: “... As maiores taxas de crescimento populacional ocorreram nas cidades de que em 1959 viviam de 400 a 600 mil pessoas - mais de 35 por cento. De acordo com as visões predominantes em nosso planejamento urbano, cidades com população de 50 a 200 mil pessoas são consideradas ótimas e até 400 mil são aceitáveis. Isto significa que as cidades que ultrapassaram os limites “permissíveis” cresceram mais rapidamente. As cidades “ótimas” também cresceram rapidamente, tornando-se subótimas (nosso itálico - A.M.).”

Do nosso ponto de vista, esta discussão é muito frutífera em termos científicos, embora os seus resultados práticos se tenham revelado negativos, uma vez que nunca foi encontrada a dimensão óptima da cidade. No entanto, pode-se isolar o seu resultado teórico:

1 Conceito de otimização da cidade um por um parâmetro chave- o tamanho da população - não recebeu a devida confirmação teórica e prática. Não foi possível formular e justificar claramente tal valor. Nenhuma metodologia foi criada para orientar eficazmente o desenvolvimento urbano para valores ótimos.

2 A questão de saber se esse valor óptimo existe em princípio permanece em aberto e ainda por resolver. Para resolvê-lo, são necessárias novas abordagens metodológicas, que estão sendo desenvolvidas no âmbito das pesquisas em andamento sobre a otimização do sistema de liquidação do Distrito Federal dos Urais.

3 Surgiu uma nova compreensão do conceito de tamanho ótimo de uma cidade, uma espécie de tamanho ótimo não absoluto, mas relativo, que está associado não a indicadores absolutos, mas a indicadores relativos. Além disso, propõe-se que o indicador mais claro seja a correspondência do tamanho da cidade com os parâmetros especificados no plano geral.

4 Os autores do conceito de otimização da cidade simplesmente abordaram a sua questão num nível que não era adequado ao problema. Parece-nos que a forma mais provável de resolver este problema é optimizar não uma cidade individual, mas sim o sistema de povoamento - regional e nacional. Isto se deve ao fato de que qualquer cidade existe apenas como elemento de um sistema de mais alto nível, nomeadamente o sistema de liquidação, e otimizá-lo isoladamente deste sistema parece ser uma tarefa difícil. A escala real na qual a formulação e solução do problema de otimização é possível é a escala do sistema de liquidação. Determinar o tamanho e o nível deste sistema representa um desafio teórico adicional.

Tipos de problemas de otimização em planejamento urbano

Tornou-se possível destacar vários critérios principais, pelo qual é necessário avaliar o problema de otimização do reassentamento. A combinação desses critérios é uma espécie de matriz que deve revelar a essência do problema de otimização dos sistemas de liquidação.

1 Pela presença ou ausência de limite ao crescimento do recurso que está sendo otimizado. Para alguns problemas de otimização, é possível um crescimento teoricamente ilimitado do indicador que precisa ser otimizado. Ou, inversamente, existe um certo nível final, após o qual o crescimento do indicador torna-se impossível. No nosso caso, acreditamos provisoriamente que o problema de otimização do assentamento pertence à primeira opção, uma vez que o aumento do indicador de otimização está associado ao tamanho da população, e este indicador pode, teoricamente, aumentar indefinidamente.

2 Pela presença de um ou vários ótimos (conjunto ótimo). Dependendo do tipo de problema, pode haver um ótimo ou vários ótimos. No nosso caso, podemos descrever preliminarmente o problema como tendo vários ótimos devido ao fato de serem possíveis várias opções para otimizar a distribuição em uma superfície plana limitada.

3 De acordo com o cumprimento do critério de Pareto (aumentar o parâmetro de otimização para alguns elementos não implica reduzi-lo para outros elementos). Nesta situação, é necessário responder à questão: é possível aumentar o nível de optimização

mização de alguns elementos do sistema de liquidação, sem nunca reduzi-la em outros. A prática do planejamento urbano mostra que o desenvolvimento de um grande sistema de assentamentos que cumpra o critério de Pareto parece impossível. O desenvolvimento de elementos do sistema de assentamento ocorre, entre outras coisas, devido ao fluxo da população ao longo da hierarquia de assentamento (via de regra, dos níveis inferiores para os superiores).

4 Por quantos critérios a otimização deve ser realizada - um ou vários. A otimização deve ser multicritério ou monocritério - aqui está o maior problema teórico. Para resolvê-lo é necessário utilizar um aparato metodológico já desenvolvido: antes de mais nada, é preciso ressaltar que no nível macro a atividade de vida da sociedade se forma a partir da interação de seus três subsistemas principais. Em ordem de ocorrência, eles podem ser listados na seguinte ordem:

1) Subsistema ecológico natural.

2) Subsistema sociodemográfico.

3) Subsistema econômico.

No decorrer do desenvolvimento histórico, esses subsistemas deram origem uns aos outros sucessivamente. O subsistema ecológico natural, existindo originalmente por um tempo incomensuravelmente mais longo que o próprio homem, deu-lhe origem no curso de seu desenvolvimento evolutivo. A principal direção da atividade humana como ser inteligente passou a ser o desejo de garantir a sua sobrevivência e desenvolvimento através do uso mais eficiente dos recursos naturais e, ao mesmo tempo, esforçar-se para minimizar a sua dependência de desastres naturais. Devido a esse desejo, o subsistema sociodemográfico criado pelo homem adquiriu significativa autonomia em relação ao subsistema ecológico-natural. Conexões diretas e reversas começaram a se formar entre eles e surgiram contradições. Para superá-los, o homem criou um subsistema económico, que lhe permite aumentar drasticamente o volume de bens produzidos e consumidos e, assim, consolida a sua separação do subsistema ecológico-natural. Deve-se notar que o assunto neste sistema é, obviamente, o desenvolvimento social

subsistema geográfico, que é um conjunto de indivíduos humanos unidos em várias comunidades por motivos étnicos, raciais, religiosos e outros. Ao longo da sua história, a humanidade vive e se desenvolve neste triângulo de forças: natureza - sociedade - economia.

Como você pode ver, existem três critérios pelos quais o sistema de liquidação pode ser otimizado, dependendo da prioridade de desenvolvimento escolhida pela sociedade. Ao mesmo tempo, no âmbito de um estudo anterior, foi apresentada a seguinte afirmação: o sistema de povoamento territorial, em nossa opinião, é o elemento que une os três subsistemas de desenvolvimento da sociedade humana. Isso acontece por vários motivos.

Em primeiro lugar, porque a humanidade em geral e qualquer comunidade humana em particular surge e se desenvolve num território formado evolutivamente (principalmente terra), que é, antes de mais, o espaço da biosfera - uma zona adequada à existência de espécies biológicas. Assim, a criação de quaisquer assentamentos humanos ocorre sempre, antes de tudo, pela exclusão e utilização de territórios pertencentes à biosfera. O subsistema ecológico natural também desempenha uma função muito importante como limitador do desenvolvimento de outros subsistemas e define as especificidades do seu desenvolvimento em determinadas condições.

Em segundo lugar, o desenvolvimento do sistema de assentamento territorial é um reflexo direto das atividades do subsistema sociodemográfico. O sistema de povoamento territorial reflecte de forma concentrada as características específicas de uma sociedade, a sua história e presente, o seu nível de desenvolvimento e estrutura demográfica. Estas características manifestam-se espacialmente através de indicadores como o tamanho e densidade populacional, o rácio e distribuição das populações rurais e urbanas, a direcção e intensidade dos fluxos migratórios.

Em terceiro lugar, o subsistema económico, sendo um derivado do subsistema sociodemográfico, é a sua continuação espacial direta, desempenhando espacialmente diversas funções básicas. Isto é para garantir a produção necessária

processos de irrigação, organização de ligações de transporte entre assentamentos, extração dos recursos naturais necessários. O subsistema económico, tal como o subsistema sociodemográfico que lhe deu origem, só pode existir e desenvolver-se no quadro do subsistema ecológico-natural. Seu desenvolvimento em em maior medida reduz o espaço do sistema ecológico natural, tanto diretamente pelos seus objetos materiais localizados no espaço, quanto pelas consequências de suas atividades. O sistema de assentamento territorial é o elemento de ligação de todos os subsistemas da sociedade humana e, como tal, é a sua síntese. Fora e sem o sistema de liquidação territorial, estes subsistemas simplesmente não podem existir.

Portanto, estamos lidando com uma situação ambígua. Por um lado, existem três critérios para optimizar o assentamento: ambiental, social e económico. Ao mesmo tempo, o estudo introduz um critério de otimalidade completamente novo como fundamental - o geopolítico. É dado o conceito primário deste critério de otimização, o seu conteúdo é revelado da seguinte forma: o nível mais adequado para considerar o desenvolvimento dos sistemas de assentamento territorial é o nível nacional. E a unidade real do sistema de assentamento territorial é sistema nacional reassentamento. São as fronteiras do estado que constituem os limites claros e justificados do sistema de liquidação.

A este respeito, levanta-se a questão: que papel desempenha o sistema de liquidação nacional no funcionamento do Estado, e não em geral de alguma comunidade humana abstrata. Na nossa opinião, o principal objectivo da existência e funcionamento do sistema nacional de liquidação territorial é garantir o controlo mais eficaz e duradouro sobre o território nacional do Estado existente e da nação que o habita. O sistema de povoamento territorial é uma espécie de “estrutura de dominação” que garante o desenvolvimento mais eficiente do território e dos recursos nele disponíveis, garantindo o desenvolvimento mais eficiente

desenvolvimento desta sociedade nacional específica, tanto como um todo como dos seus membros individuais. E além disso, garantir a maior estabilidade da nação contra possíveis influências externas adversas. O cumprimento ou não deste critério principal para um controlo espacial eficaz é fundamental para avaliar a qualidade do sistema de assentamento territorial.

Conclusão

Assim, teoricamente temos quatro respostas possíveis à questão colocada sobre qual deve ser a natureza da otimização no planeamento urbano:

1 A optimização é possível de acordo com qualquer um de três parâmetros distintos: ambiental, social ou económico, que foi o que realmente tentaram fazer no período soviético no âmbito do sistema de planeamento regional, quando se presumia que era possível alcançar a optimização. do sistema de liquidação segundo o parâmetro econômico, na sua compreensão socialista.

2 A otimização é possível (pelo menos teoricamente) para todos os três parâmetros separados simultaneamente, suavizando as contradições que existem entre eles. Em sua essência, essa otimização está próxima do conceito desenvolvimento sustentável, que se baseia no desejo de equilibrar as necessidades socioeconómicas da sociedade e as capacidades ambientais para as satisfazer.

3 A optimização de acordo com o parâmetro geopolítico, ao garantir o controlo mais eficaz e de longo prazo sobre o território nacional de um estado existente e da nação que o habita, torna-se primordial. Este tipo de otimização corresponde à metodologia deste estudo e parece ser a mais promissora.

4 Otimização para todos os quatro parâmetros de uma só vez, quando é alcançada a otimização simultânea dos parâmetros ambientais, sociais, económicos e geopolíticos. Este tipo de otimização pode ser chamado de superotimização, quando todos os parâmetros são otimizados simultaneamente. Alcançar tal estado parece altamente duvidoso, mas deve ser mantido em mente

como o resultado final ideal.

Lista de literatura usada

1 Shuper V.A. Auto-organização do assentamento urbano/Rus. Universidade Aberta M., 1995.

2 Pokshishevsky V.V. Ensaios históricos e geográficos. M., 1951.

3 Brazovskaya N.V. Métodos de otimização: livro didático. subsídio / estado de Altai. tecnologia. Universidade com o nome I. I. Polzunova [Centro de Distância. treinamento]. Barnaul, 2000.

4 Grande Enciclopédia Soviética. 3ª edição. M., 1975. T. 19.

5 Raizberg B. A., Lozovsky L. Sh., Starodubtseva E. B. Dicionário econômico moderno. 2ª ed., Rev. M., 1999.

6 Economia: dicionário explicativo. M., 2000.

7 Perevedentsev V.I. Métodos para estudar a migração populacional, M., 1975.

8 Dubrovsky P. N. Dimensões máximas da cidade // Ciência e tecnologia. 1970. Nº 6.

9 Mazaev A. G. Sistema nacional de assentamento territorial como fator de controle: abordagem geopolítica // Boletim acadêmico UralNIIproekt RAASN. 2008. Nº 1. S. 32-37.

10 Mazaev A. G. Formação e desenvolvimento do sistema de povoamento dos Urais (séculos XVII-XIX): etapas e características geopolíticas // Boletim acadêmico UralNIIproekt RAASN. 2014. Nº 1. P. 10.

11 Mazaev A. G. Análise do desenvolvimento da estrutura do sistema de liquidação dos Urais (finais do século XIV - XX) usando o método da média móvel // Boletim acadêmico UralNIIproekt RAASN. 2014. Nº 3. P. 34.

Na prática, surgem constantemente situações em que um determinado resultado pode ser alcançado não de uma, mas de muitas maneiras diferentes. Uma pessoa física pode se encontrar em situação semelhante, por exemplo, quando decide a distribuição de suas despesas, e toda uma empresa ou mesmo uma indústria, se for necessário determinar como utilizar os recursos à sua disposição para alcançar a produção máxima e, finalmente, uma economia nacional como um todo. Naturalmente, com um grande número de soluções, deve-se escolher a melhor.

O sucesso na resolução da grande maioria dos problemas económicos depende da melhor e mais rentável forma de utilizar os recursos. E o resultado final da atividade vai depender de como esses recursos, via de regra, limitados são distribuídos.

A essência dos métodos de otimização (programação ótima) é, com base na disponibilidade de determinados recursos, escolher um método de sua utilização (distribuição) que garanta o máximo ou mínimo do indicador de interesse.

Uma condição necessária A utilização de uma abordagem óptima ao planeamento (o princípio da optimização) é a flexibilidade, a alternativa de produção e as situações económicas sob as quais as decisões de planeamento e gestão devem ser tomadas. São precisamente estas situações que, em regra, constituem a prática quotidiana de uma entidade económica (selecção de um programa de produção, ligação a fornecedores, encaminhamento, corte de materiais, preparação de misturas).

A programação ideal fornece, portanto, uma solução bem-sucedida para vários problemas extremos de planejamento de produção. No domínio da análise macroeconómica, previsão e planeamento, a programação óptima permite escolher uma variante do plano económico nacional (programa de desenvolvimento), caracterizado pela relação óptima de consumo e poupança (acumulações), a proporção óptima de investimentos industriais no rendimento nacional, a relação óptima entre o coeficiente de crescimento e o coeficiente de rentabilidade da economia nacional, etc.

A programação óptima garante a obtenção de resultados praticamente valiosos, pois pela sua natureza é totalmente consistente com a natureza dos processos e fenómenos técnicos e económicos em estudo. Do ponto de vista matemático e estatístico, este método é aplicável apenas aos fenômenos que são expressos por quantidades positivas e em sua totalidade formam uma união de quantidades interdependentes, mas qualitativamente diferentes. Estas condições, via de regra, correspondem às grandezas que caracterizam os fenómenos económicos. Um pesquisador de economia sempre tem diante de si um certo conjunto de diferentes tipos de quantidades positivas. Ao resolver problemas de otimização, um economista sempre lida não com uma, mas com várias quantidades ou fatores interdependentes.

A programação óptima só pode ser aplicada aos problemas em que o resultado óptimo é alcançado apenas sob a forma de objectivos formulados com precisão e sob restrições bem definidas, geralmente resultantes dos recursos disponíveis (capacidade de produção, matérias-primas, recursos de trabalho, etc.). As condições do problema geralmente incluem algum sistema formulado matematicamente de fatores, recursos e condições interdependentes que limitam a natureza de seu uso.

O problema se torna solucionável quando introduzimos nele certas estimativas tanto para fatores interdependentes quanto para resultados esperados. Conseqüentemente, a otimalidade do resultado de um problema de programação é relativa. Este resultado é ótimo apenas do ponto de vista dos critérios pelos quais é avaliado e das restrições introduzidas no problema.

Com base no exposto, qualquer problema de programação ideal é caracterizado pelos três pontos a seguir:

1) a presença de um sistema de fatores interdependentes;

2) um critério estritamente definido para avaliar a otimalidade;

3) formulação precisa de condições que limitam o uso dos recursos ou fatores disponíveis.

Dentre muitas opções possíveis, é selecionada uma combinação alternativa que atenda a todas as condições inseridas no problema e forneça o valor mínimo ou máximo do critério de otimalidade selecionado. A solução do problema é alcançada por meio de um determinado procedimento matemático, que consiste em aproximar sucessivamente as opções racionais correspondentes à combinação de fatores selecionada a um único plano ótimo.

Matematicamente, isso pode ser reduzido a encontrar o valor extremo de alguma função, ou seja, a um problema como:

Encontre max (min) f(x) desde que a variável x (ponto x) percorra algum conjunto X:

f(x) ® máx (min), x I Х (4.1)

O problema assim definido é chamado de problema de otimização. O conjunto X é chamado de conjunto admissível de um determinado problema, e a função f(x) é chamada de função objetivo.

Assim, uma tarefa de otimização é aquela que consiste em escolher entre um determinado conjunto de soluções (X) admissíveis (ou seja, permitidas pelas circunstâncias do caso) aquelas soluções (x) que em um sentido ou outro podem ser qualificadas como ótimas. Além disso, a admissibilidade de cada solução é entendida no sentido da possibilidade de sua existência real, e a otimalidade - no sentido de sua conveniência.

Depende muito da forma como o conjunto admissível X é especificado. Em muitos casos, isso é feito usando um sistema de desigualdades (igualdades):

q1 (x1, x2,… , xn) (? , = , ?) 0,

q2 (x1, x2,…, xn) (?, =,,?) 0, (4.2)

……………………………..

qm (x1, x2,… , xn) (? , = , ?) 0,

onde q1, q2,…, qm são algumas funções, (x1, x2,…, xn) = x – o ponto x é especificado por um conjunto de vários números (coordenadas), sendo um ponto no espaço aritmético n-dimensional Rn. Assim, o conjunto X é um subconjunto em Rn e constitui um conjunto de pontos (x1, x2, ..., xn) I Rn e satisfazendo o sistema de desigualdades (2.2.2).

A função f(x) torna-se uma função de n variáveis ​​f(x1, x2, ..., xn), o ótimo (máximo ou mínimo) que precisa ser encontrado.

É claro que é necessário encontrar não apenas o valor do próprio max (min) (x1, x2, ..., xn), mas também o ponto ou pontos, se houver mais de um, em que esse valor é alcançou. Esses pontos são chamados de soluções ótimas. O conjunto de todas as soluções ótimas é chamado de conjunto ótimo.

O problema descrito acima é um problema geral de programação ótima (matemática), cuja construção é baseada nos princípios de otimalidade e consistência. A função f é chamada de função objetivo, as desigualdades (igualdades) qi (x1, x2, ... , xn) (? , = , ?) 0, i = 1, 2, ... , m são restrições. Na maioria dos casos, as restrições incluem as condições de não negatividade das variáveis:

x1? 0,x2? 0, …, xn? 0,

ou partes de variáveis. No entanto, isso pode não ser necessário.

Dependendo da natureza das funções de restrição e da função objetivo, distinguem-se diferentes tipos de programação matemática:

1. programação linear – as funções são lineares;

2. programação não linear – pelo menos uma destas funções é não linear;

3. programação quadrática – f(x) é uma função quadrática, as restrições são lineares;

4. programação separável – f(x) é a soma das funções que são diferentes para cada variável, condições – as restrições podem ser lineares e não lineares;

5. programação inteira (linear ou não linear) – as coordenadas do ponto desejado x são apenas inteiras;

6. programação convexa – a função objetivo é convexa, as funções – restrições – são convexas, ou seja, são consideradas funções convexas em conjuntos convexos, etc.

O caso mais simples e comum é quando essas funções são lineares e cada uma delas tem a forma:

a1x1 + a2x2 +… anxn + b,

isto é, existe um problema de programação linear. Estima-se que atualmente aproximadamente 80-85% de todos os problemas de otimização resolvidos na prática sejam problemas de programação linear.

Combinando simplicidade e pressupostos realistas, este método tem ao mesmo tempo um enorme potencial na determinação dos melhores planos do ponto de vista do critério selecionado.

Os primeiros estudos na área de programação linear, que tiveram como objetivo selecionar plano ideal as obras do complexo produtivo datam do final da década de 30 do nosso século e estão associadas ao nome de L.V. Kantorovich. Na tradição científica nacional, é ele o primeiro desenvolvedor deste método.

Na década de 30, durante um período de intenso desenvolvimento económico e industrial União Soviética Kantorovich estava na vanguarda da pesquisa matemática e procurou aplicar seus desenvolvimentos teóricos à prática da crescente economia soviética. Essa oportunidade surgiu em 1938, quando foi nomeado consultor do laboratório de uma fábrica de compensados. Ele foi encarregado de desenvolver um método de alocação de recursos que; poderia maximizar o desempenho do equipamento, e Kantorovich, formulando o problema em termos matemáticos, produziu uma maximização de uma função linear sujeita a um grande número de limitadores. Sem uma educação económica pura, ele sabia, no entanto, que a maximização sob inúmeras restrições é um dos problemas fundamentais da economia e que o método que facilita o planeamento nas fábricas de contraplacado pode ser utilizado em muitas outras indústrias, seja para determinar o uso óptimo da terra agrícola ou para determinar a utilização mais distribuição eficiente dos fluxos de tráfego.

Falando sobre o desenvolvimento deste método no Ocidente, devemos falar de Tjalling Koopmans, um economista matemático americano de origem holandesa.

Na missão da frota mercante, Koopmans tentou desenvolver as rotas das frotas aliadas de forma a reduzir ao mínimo o custo de entrega de carga. A tarefa era extremamente complexa: milhares de navios mercantes transportavam milhões de toneladas de carga pelas rotas marítimas entre centenas de portos espalhados pelo mundo. Este trabalho proporcionou a Koopmans uma oportunidade de aplicar o seu conhecimento matemático a um problema económico fundamental – a alocação óptima de recursos escassos entre consumidores concorrentes.

Koopmans desenvolveu uma técnica analítica chamada análise de atividade que mudou drasticamente a forma como economistas e gestores abordavam a alocação de rotas. Ele descreveu esta técnica pela primeira vez em 1942, chamando-a de "Relações de Troca entre Cargas em Várias Rotas", onde mostrou a possibilidade de abordar o problema de distribuição como um problema matemático de maximização dentro de limites. O valor sujeito a acréscimo máximo é o custo da carga entregue, igual à soma dos custos da carga entregue em cada um dos portos. As restrições foram representadas por equações que expressam a razão entre o número de fatores de produção consumidos (por exemplo, navios, tempo, mão de obra) e a quantidade de carga entregue nos diversos destinos, onde o valor de qualquer um dos custos não deve exceder o valor disponível. .

Enquanto trabalhava no problema da maximização, Koopmans desenvolveu equações matemáticas que encontraram ampla aplicação tanto na teoria econômica quanto na prática gerencial. Essas equações determinaram para cada custo de produção um coeficiente igual ao preço desse custo em condições de mercados competitivos ideais. Assim, foi estabelecida uma ligação fundamental entre as teorias da eficiência da produção e as teorias da distribuição através da mercados competitivos. Além disso, as equações de Koopmans foram de grande valor para os planeadores centrais, que podiam utilizar estas equações para determinar preços apropriados para vários factores de produção, deixando ao mesmo tempo a selecção de rotas óptimas ao critério dos directores locais, cuja responsabilidade era maximizar os lucros. O método de análise de atividades pode ser amplamente utilizado por qualquer gestor no planejamento de processos de produção.

Em 1975, L.V. Kantorovich e Tjalling C. Koopmans receberam o Prêmio Nobel "por suas contribuições à teoria da alocação ideal de recursos".

Falando das primeiras pesquisas na área de programação linear, não se pode deixar de citar outro cientista americano - George D. Danzig. A formulação específica do método de programação linear remonta ao seu trabalho realizado para a Força Aérea dos EUA durante a Segunda Guerra Mundial, quando surgiu o problema de coordenar as ações de uma grande organização em questões como armazenamento, produção e manutenção de equipamentos e logística, e havia alternativas e limitações. Além disso, J. Danzing trabalhou em conjunto com V.V. Leontiev, e o método simplex para resolver problemas de otimização linear (mais frequentemente usado para resolvê-los) surgiram em conexão com uma das primeiras aplicações práticas do método de equilíbrio de entrada-saída.

INTRODUÇÃO

INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

2. FUNDAMENTOS DA TEORIA DA OTIMIZAÇÃO
2.1 Parâmetros do plano
2.2 Função objetivo (plano)

3. FUNÇÃO DE UMA VARIÁVEL
3.1 Definição de função de uma variável e suas propriedades
3.2 Estudo da função em economia. Encontrando o lucro máximo
3.3 Definição de extremo global
3.4 Funções convexas e côncavas
3.5 Critério de otimalidade
3.6 Identificação de ótimos

4. OTIMIZAÇÃO UNIDIMENSIONAL
4.1 Métodos para eliminar intervalos
4.1.1 Método de digitalização
4.1.2 Método de divisão de um segmento ao meio
4.1.3 Método da proporção áurea
4.1.4 Características comparativas dos métodos de exclusão de intervalo
4.2 Aproximação polinomial e métodos de estimativa pontual
4.2.1 Método de aproximação parabólica
4.2.2 Método de Puell
4.3 Comparação de métodos de pesquisa unidimensionais

5. FUNÇÕES DE MUITAS VARIÁVEIS
5.1 Funções de muitas variáveis, sua designação e domínio de definição
5.2 Algumas funções multivariadas utilizadas em economia
5.3 Derivadas parciais de funções multivariáveis
5.4 Significado econômico das derivadas parciais
5.5 Derivadas parciais de ordem superior
5.6 Propriedades de uma função de diversas variáveis
5.7 Derivada direcional. Gradiente. Linhas de nível de função
5.8 Extremo de uma função de diversas variáveis

6. OTIMIZAÇÃO DE GRADIENTE INCONDICIONAL MULTIDIMENSIONAL
6.1 Conceito de métodos
6.2 Método gradiente descendente
6.3 Método de descida mais íngreme

7. CRITÉRIOS DE OPTIMALIDADE EM PROBLEMAS COM RESTRIÇÕES
7.1 Problemas com restrições na forma de igualdades
7.2 Multiplicadores de Lagrange
7.3 Interpretação económica dos multiplicadores de Lagrange
7.4 Condições de Kuhn-Tucker
7.4.1 Condições de Kuhn-Tucker e o problema de Kuhn-Tucker
7.5 Teoremas de Kuhn-Tucker
7.6 Condições para existência de ponto de sela

8. MODELOS DE PROGRAMAÇÃO DINÂMICA
8.1 Tema de programação dinâmica
8.2 Enunciado do problema de programação dinâmica
8.3 Princípio da otimalidade e descrição matemática do processo de controle dinâmico
8.4 Esquema geral de aplicação do método de programação dinâmica
8.5 Modelo bidimensional de alocação de recursos
8.6 Modelo dinâmico discreto de alocação ótima de recursos
8.7 Selecionando a estratégia ideal de atualização de hardware
8.8 escolhendo a rota ideal para o transporte de mercadorias
8.9 Construção de uma sequência ótima de operações em atividades comerciais

REGRAS DE IMPLEMENTAÇÃO E REGISTRO DE CÁLCULO E TAREFAS GRÁFICAS

CÁLCULO E TAREFA GRÁFICA 1

CÁLCULO E TAREFA GRÁFICA 2

CÁLCULO E TAREFA GRÁFICA 3

LITERATURA

INTRODUÇÃO

A matematização de diversas áreas do conhecimento não é atualmente algo novo. A introdução generalizada de métodos matemáticos em uma ampla variedade de campos de atividade hoje não surpreende mais ninguém. Não se trata apenas de ciências técnicas e económicas, onde estes métodos há muito dão frutos, mas também de várias ciências de gestão aplicadas que estão agora em desenvolvimento: gestão, tomada de decisões de gestão, previsões socioeconómicas, etc.

As ciências aplicadas desenvolvem-se à sua maneira, utilizando o aparato matemático existente para resolver problemas emergentes, e mesmo com suas necessidades estimulam o desenvolvimento de determinados ramos da matemática.

Este manual destina-se a estudantes de especialidades econômicas que estudam métodos de otimização. Como para dominar com sucesso o material deste curso é necessário um certo conhecimento mínimo de matemática superior, o manual cobre esses pontos. O material é acompanhado pelas aplicações económicas correspondentes. Quando as aplicações em economia são de interesse independente, elas são separadas em seções especiais.

O tutorial não substitui os existentes material didáctico plano acadêmico, que se dedica aos aspectos matemáticos dos métodos computacionais. A principal tarefa é familiarizar-se com os métodos computacionais como ferramenta de resolução de problemas, para obter uma compreensão clara da estrutura lógica dos métodos apresentados, bem como das suas vantagens e desvantagens comparativas.

Ao trabalhar com o manual, o aluno primeiro conhece o material teórico, depois estuda a parte prática, que se localiza logo após a parte teórica em cada seção. Cada capítulo contém questões de controle nas quais o aluno pode exercer autocontrole. Depois disso, o aluno prossegue para completar o teste, fornecido pelo programa. Então teste enviado para revisão. Se o revisor descobrir erros ou identificar lacunas no conhecimento, recomenda-se retornar novamente às seções relevantes e trabalhar novamente no material até a assimilação completa.

Um manual didático e prático para o sistema de ensino a distância na disciplina “Métodos de Otimização e Teoria de Controle” destina-se ao trabalho independente do aluno com uma forma não estacionária de controle do conhecimento.

Como parte da disciplina, três tarefas de cálculo e gráficas são realizadas pelos alunos durante um curso de cinco anos; os alunos que estudam há 3,5 anos realizam duas tarefas de cálculo e gráficas - a segunda e a terceira. A solução para problemas semelhantes é discutida nas partes teórica e prática do manual.

Depois de concluir o curso, os alunos fazem um teste. As questões do teste são compiladas com base nas questões de controle indicadas no final de cada seção do manual.

Capítulo 1. INTRODUÇÃO AOS MÉTODOS DE OTIMIZAÇÃO

O termo “otimização” tem um uso muito amplo e pode, portanto, depender do contexto. Ótimo (do latim ótimo - o melhor) - um conjunto das condições mais favoráveis; a melhor opção para resolver um problema ou a forma de atingir um objetivo sob determinadas condições e recursos. Ótimo econômico em sentido amplo - o funcionamento mais eficiente da produção, em sentido estrito - a melhor utilização dos recursos materiais, que atinge o possível efeito máximo produção ou possíveis custos mínimos.

Otimizaçãoé o processo de seleção da melhor opção ou o processo de levar o sistema ao melhor estado (ótimo), que consiste em encontrar todos os elementos de maximização ou minimização ou pontos de sela. A otimização está no centro da análise econômica. Nos modelos económicos passivos (como os que estudam o equilíbrio geral), estamos interessados ​​no comportamento óptimo do decisor. Nos modelos activos (tais como modelos de crescimento eficiente), nós próprios estamos interessados ​​em obter o óptimo. EM últimos anos Tem havido uma tendência de passar de modelos de insumo-produto para modelos de análise de processos de produção, de modelos simples de crescimento para modelos que estudam trajetórias de crescimento ótimo e eficiente.

Métodos de otimização– métodos para procurar o extremo de uma função (em problemas práticos – critérios de otimalidade) com ou sem restrições são amplamente utilizados na prática. Este é, antes de tudo, um projeto ótimo (seleção dos melhores modos tecnológicos nominais, elementos estruturais, estrutura das cadeias tecnológicas, condições atividade econômica, aumentando a lucratividade, etc.), controle ótimo sobre a construção de modelos não matemáticos de objetos de controle (minimizando resíduos estruturas diferentes modelo e objeto real) e muitos outros aspectos da solução econômica e Problemas sociais(por exemplo, gestão de estoques, recursos de mão de obra, fluxos de tráfego, etc.).

Os métodos de otimização são um ramo da modelagem matemática.

Esses tópicos cobrem uma ampla gama de diferentes problemas de modelagem matemática que surgem ao estudar objetos reais de produção industrial, problemas econômicos, financeiros e outros.

Modelo- é um objeto material ou imaginado mentalmente que, no processo de pesquisa, substitui o objeto original para que seu estudo direto proporcione novos conhecimentos sobre o objeto original.

Para utilizar resultados matemáticos e métodos numéricos da teoria da otimização para resolver problemas específicos, é necessário:

· estabelecer os limites do sistema a ser otimizado;

· determinar um critério quantitativo com base no qual seja possível analisar as opções para identificar as “melhores”;

· selecionar variáveis ​​intra-sistema que serão utilizadas para determinar características e identificar opções;

· construir um modelo que reflita as relações entre as variáveis.

Esta sequência de ações constitui o conteúdo processo de formulação de problema de otimização .

Consideremos alguns problemas de modelagem matemática encontrados em atividades práticas numa interpretação matemática significativa e não formal.

Problemas de alocação ótima de recursos. Em termos gerais, essas tarefas podem ser descritas da seguinte forma. Existe uma certa quantidade de recursos, que podem ser entendidos como dinheiro, recursos materiais (por exemplo, matérias-primas, produtos semiacabados, recursos de mão de obra, diversos tipos de equipamentos, etc.). Esses recursos devem ser distribuídos entre vários objetos de sua utilização em períodos distintos de tempo ou entre vários objetos de forma a obter a máxima eficiência total do método de distribuição escolhido. Um indicador de eficiência pode servir, por exemplo, lucro, produtos comercializáveis, produtividade de capital (tarefas de maximização do critério de otimalidade) ou custos totais, custo, tempo para concluir uma determinada quantidade de trabalho, etc. (problemas de minimização do critério de otimalidade).

Existe um montante inicial de fundos P 0, que deve ser distribuído P anos entre S empreendimentos. Significa e ki (k = 1,..., n; i = 1,..., S), destacado em km ano eu-ésimo empreendimento, gerar renda no valor f ki (você ki) e no final do ano eles retornam em quantidade j ki (você ki). Na distribuição subsequente, a renda pode participar (parcial ou totalmente) ou não participar.

É necessário determinar tal método de distribuição de recursos (o montante de fundos alocados a cada empresa em cada ano do plano) para que a receita total de S empresas para P anos foi o máximo. Portanto, como indicador da eficiência do processo de alocação de recursos para P anos, o rendimento total recebido de S empreendimentos:

Número de recursos no início késimo anos serão caracterizados pelo valor Ponto 1(parâmetro de estado). Gestão ativada volume k passo é selecionar variáveis você k 1 , você k 2 , …, você ks, indicando os recursos alocados para volume k ano eu-ésimo empreendimento.

Se assumirmos que a renda não participa da distribuição posterior, então a equação do estado do processo tem a forma

Se alguma parte da renda for distribuída posteriormente em qualquer ano, o valor correspondente será adicionado ao lado direito da última igualdade.

Precisa determinar ns variáveis ​​não negativas e ki, condições satisfatórias (2) e função maximizadora (1).

Gerenciamento ideal de estoque. A classe de problemas que considera o gerenciamento ótimo de estoques é uma das mais complexas. Isto deve-se ao facto de nos problemas de gestão de stocks o processo se desenrola naturalmente ao longo do tempo, e a gestão consiste no facto de uma decisão num determinado período de tempo ser tomada tendo em conta o estado a que o sistema chegou em períodos anteriores. Além disso, estes problemas estão associados, via de regra, à natureza discreta das variáveis ​​e, portanto, são bastante difíceis de resolver.

O problema da gestão de estoques é uma das áreas mais importantes de aplicação prática de métodos econômicos e matemáticos, incluindo métodos de programação matemática.

Ao formular problemas de gerenciamento de estoque, os seguintes conceitos são usados.

Reservas - este é qualquer valor monetário ou valores materiais, que são periodicamente reabastecidos (produzidos, entregues, etc.) e armazenados por algum tempo com o objetivo de serem gastos em períodos de tempo subsequentes. O nível de estoque em qualquer momento é determinado pelo nível de estoque inicial mais a reposição e menos o consumo durante o período desde o momento inicial até o momento atual.

A gestão de estoques em geral consiste em influenciar a relação entre dois fatores principais – reposição e consumo. O objetivo da gestão é otimizar algum critério em função do custo de armazenamento de estoque, custo de suprimentos, custos associados à reposição, multas, etc.

Numa formulação tão geral, tais problemas podem ter uma ampla variedade de aplicações práticas. Por exemplo, estoque pode ser entendido como os produtos da empresa, que são produzidos continuamente (reabastecimento) e enviados aos consumidores em determinados lotes discretos (consumo). Nesse caso, presume-se que a demanda por produtos seja predeterminada (demanda determinística) ou sujeita a flutuações aleatórias (problema estocástico). A gestão de estoques consiste em determinar o tamanho da produção necessária para satisfazer uma determinada demanda. O objetivo é minimizar os custos totais de armazenamento e reposição de estoques.

Os estoques podem ser entendidos como estoques de matérias-primas ou outros materiais fornecidos em lotes discretos (reposição) que se destinam a garantir o consumo contínuo durante o processo produtivo (despesa). O critério de otimalidade pode ser os custos totais de armazenamento de estoques, congelamento de capital de giro e fornecimento de estoques.

O estoque pode ser bens fornecidos a uma loja em quantidades específicas e destinados à satisfação contínua, mas sujeitos a flutuações aleatórias na demanda do cliente. O critério de otimalidade são os custos totais de insumos, armazenamento de estoque e mudanças no ritmo de produção; em função das variações da procura.

Os estoques também podem ser produtos sazonais armazenados em um depósito com capacidade limitada. Os bens podem ser comprados e vendidos em quantidades variadas a preços que mudam com o tempo. O problema é determinar as políticas de compra e venda que garantam o lucro total máximo e é um exemplo de problema de armazenamento.

Problemas de substituição. Um dos problemas económicos importantes que se encontram na prática é determinar a estratégia óptima para substituir máquinas antigas, edifícios de produção, unidades, máquinas, etc., por outras palavras, equipamentos antigos por novos.

O envelhecimento dos equipamentos inclui o seu desgaste físico e moral, pelo que aumentam os custos de produção para a produção de produtos em equipamentos antigos, aumentam os custos da sua reparação e manutenção e, ao mesmo tempo, diminuem a produtividade e o chamado valor líquido.

Chega um momento em que é mais lucrativo vender equipamentos antigos e substituí-los por novos do que operá-los com grandes custos. Neste caso, os equipamentos podem ser substituídos quer por novos equipamentos do mesmo tipo, quer por novos equipamentos tecnicamente mais avançados tendo em conta o progresso técnico.

A estratégia ideal para substituir equipamentos é determinar o momento ideal de substituição. O critério de otimalidade na determinação do momento da substituição pode ser tanto o lucro da operação do equipamento, que deve ser maximizado, quanto os custos operacionais totais durante o período de tempo considerado, que devem ser minimizados.

Problemas de controle ótimo. Normalmente, este tipo de problema inclui tarefas relacionadas a encontrar uma ação de controle contínua distribuída ao longo do tempo. Em economia, estes são principalmente problemas de previsão de tendências de desenvolvimento, investimentos de longo prazo, etc. Por exemplo, o problema de otimização do fundo de consumo total, onde o montante do investimento em função do tempo é considerado como uma influência de controle (o problema pode ser formulado com ou sem levar em conta o atraso do investimento), o problema de maximizar o consumo com desconto, etc.

Todas as classes de problemas mencionadas (e sua composição está longe de ser completa) requerem o uso de métodos matemáticos especiais de programação linear e não linear, programação dinâmica, princípio do máximo e alguns outros para sua solução. Uma parte integrante do trabalho computacional na resolução dos problemas considerados pode ser os problemas de resolução de equações não lineares e seus sistemas, cálculo de integrais, resolução de equações diferenciais, etc.

Há um grande número de métodos de otimização numérica. Os principais podem ser classificar Da seguinte maneira:

· de acordo com a dimensão do problema a ser resolvido: unidimensional e multidimensional;

De acordo com o método de formação de etapas, os métodos multidimensionais são divididos nos seguintes tipos:

q gradiente:

o pelo método de cálculo do gradiente: com amostra pareada e com amostra central;

o de acordo com o algoritmo de correção de pitch;

o de acordo com o algoritmo de cálculo de um novo ponto: passo único e passo múltiplo;

q sem gradiente: com mudanças alternadas de variáveis ​​e com mudanças simultâneas de variáveis;

q busca aleatória: com estratégia puramente aleatória e com estratégia mista;

· de acordo com a presença de restrições ativas;

· sem restrições (incondicional);

· com restrições (condicional);

· com restrições como a igualdade;

· com restrições como desigualdades;

· misturado.

Os métodos de otimização unidimensionais são a base para alguns métodos “multidimensionais”. Na otimização de gradiente multidimensional, uma sequência de melhoria é construída dependendo da taxa de mudança do critério em várias direções. Neste caso, por uma sequência de melhoria entendemos a seguinte sequência x 0, x 1, …, x i, …, em cada ponto em que o valor do critério de otimalidade é melhor que no anterior. Em métodos livres de gradiente, a magnitude e a direção do passo em direção ao ótimo ao construir uma sequência de melhoria são formadas exclusivamente de acordo com certas funções determinísticas, dependendo das propriedades do critério de otimalidade na vizinhança do ponto atual sem usar derivadas (ou seja, gradiente ). Métodos aleatórios são usados ​​em problemas de alta dimensão. A otimização condicional multivariada leva em consideração restrições ativas expressas como igualdades e desigualdades. Em cada uma das áreas consideradas, existe um grande número de métodos que apresentam vantagens e desvantagens próprias, que dependem, em primeiro lugar, das propriedades das funções cujo extremo se procura. Um dos indicadores comparativos da qualidade de um método é o número de valores de função que precisam ser calculados para resolver um problema com um determinado erro. Quanto menor for esse número, maior será o outro condições iguais método mais eficaz.

Em problemas teóricos e matemáticos, costuma-se considerar os problemas de otimização como problemas para encontrar o mínimo de uma função. Até os métodos têm um nome comum - métodos de descida. No entanto, ao resolver problemas práticos reais, muitas vezes há problemas ao máximo (por exemplo, maximização de renda, volume de produção, etc.). É claro que é fácil passar de um tipo de extremo a outro alterando o sinal do critério de otimalidade, mas isso nem sempre é feito em problemas não matemáticos aplicados, para não perder o fio condutor do problema.

Perguntas para o Capítulo 1

1. Por que é necessário utilizar a matemática na economia?

2. O que é um modelo matemático?

3. Como é construído um modelo matemático de um fenômeno e objeto econômico? Dê um exemplo de construção de um modelo.

4. O que é otimização?

5. Quais métodos de otimização existem?

6. Que problemas económicos são resolvidos pelos métodos de otimização?

Capítulo 2. FUNDAMENTOS DA TEORIA DA OTIMIZAÇÃO

O termo "otimização" denotam um processo que permite obter uma solução refinada. Embora o objetivo final da otimização seja encontrar a solução melhor, ou “ótima”, geralmente é preciso se contentar em melhorar as soluções conhecidas em vez de aperfeiçoá-las. Portanto, a otimização é entendida antes como um desejo de perfeição, que pode não ser alcançado.

Considerando algum sistema arbitrário descrito eu equações com n desconhecido, três tipos principais de problemas podem ser distinguidos:

· Se m = n, Que h O problema é chamado algébrico. Tal tarefa geralmente tem única decisão;

· Se m > n, então a tarefa é redefinida, via de regra, não tem soluções;

· Se eu< n , então o problema está subdeterminado, tem infinitas soluções.

Na prática, na maioria das vezes temos que lidar com problemas do terceiro tipo.

Vamos apresentar uma série de definições.

2.1. Opções de plano

Definição. Opções de plano– estes são parâmetros variáveis ​​​​independentes que determinam completa e exclusivamente o problema que está sendo resolvido.

São quantidades desconhecidas cujos valores são calculados durante o processo de otimização. Quaisquer quantidades básicas ou derivadas que sirvam para descrever quantitativamente o sistema podem servir como parâmetros de projeto.

Por exemplo, Os valores de comprimento, massa, tempo e temperatura podem ser considerados parâmetros.

O número de parâmetros de projeto caracteriza o grau de complexidade de um determinado problema de projeto.

Notação. Normalmente, o número de parâmetros de projeto é denotado por n,x– os próprios parâmetros de projeto com os índices correspondentes

x 1, x 2, …, x n – n parâmetros de projeto do problema.

2.2. Função objetivo (plano)

Definição. Função objetiva– uma expressão cujo valor nos esforçamos para tornar máximo ou mínimo.

A função objetivo permite comparar quantitativamente duas soluções alternativas. Do ponto de vista matemático, a função objetivo descreve alguns (n+1) Superfície dimensional.

1) Se houver apenas um parâmetro de projeto, então a função objetivo pode ser representada por uma curva no plano (Fig. 1).

2) Se houver dois parâmetros de projeto, então a função objetivo será representada como uma superfície no espaço tridimensional (Fig. 2).

Definição. Com três ou mais parâmetros de projeto, as superfícies especificadas pela função objetivo são chamadas hipersuperfícies e não pode ser representado por meios convencionais.

A função objetivo em vários casos pode ser representada:

função suave por partes;

· mesa;

· somente valores inteiros;

· dois valores – sim ou não (função discreta).

Qualquer que seja a forma em que a função objetivo seja apresentada, ela deve ser uma função inequívoca dos parâmetros de projeto.

Vários problemas de otimização requerem a introdução de mais de uma função objetivo. Às vezes, um deles pode ser incompatível com o outro. Um exemplo é o projeto de aeronaves, onde são necessários simultaneamente resistência máxima, peso mínimo e custo mínimo. Nesses casos, o projetista deve introduzir um sistema de prioridades. O resultado é uma “função de compensação” que permite o uso de uma função objetivo composta durante o processo de otimização.

Perguntas para o Capítulo 2

1. Quais são os parâmetros do plano?

2. Dê um exemplo de parâmetros de plano.

3. Defina a função objetivo.

4. Como é representada a função objetivo?