Optimointi talousteorian keskiössä. Mitä optimointimenetelmiä on olemassa? Menetelmät johtamispäätösten optimointiin Optimointiteoria

1. Matemaattiset ohjelmointiongelmat

missä on skalaarifunktio äärellisulotteisessa joukossa:

• - lineaarisen ohjelmoinnin (LP) tehtävät: - lineaarinen, sallittu joukko X on konveksi, määritelty lineaarisilla yhtälöillä ja epäyhtälöillä. (LP-ydin - simplex-menetelmä; kaksinaisuusteoria, Lagrange-funktio, satulapisteen olemassaolo)
• - kokonaisluku LP-ongelmat (optimaaliset ratkaisut Z);
• - neliöllisen ohjelmoinnin ongelmia;
• - diskreetit ohjelmointiongelmat (sallittu joukko - äärellinen);
• - kupera ohjelmointiongelma (X on kupera, - kupera; Kuhn-Tuckerin lause on analogi LP:n duaalisuusteorialle);
• - ei-kuperat ohjelmointiongelmat.
• 2. Monikriteerien optimointiongelmat (optimiteettikriteeri koostuu useista skalaarifunktioista, jotka täytyy maksimoida tai minimoida).
• 3. Variaatiolaskelman tehtävät.

VI tehtävä: Etsi X on mielivaltainen joukko, esimerkiksi funktionaali, jonka argumentti on useimmiten funktiot (eli funktioavaruuden osajoukko). VI:lle on ominaista se, että joukko X on useimmiten jatkuvasti differentioituvien funktioiden avaruus.

4. Optimaaliset ohjausongelmat.

Klassinen esimerkki OU-ongelmasta on rakettilento-ongelma.

Raketin liikkeen prosessi saadaan differentiaaliyhtälöstä, alkuehdot, .

Operaatiovahvistinongelmalle on ominaista erityyppiset muuttujat: vaihe (sijainti avaruudessa) ja ohjausparametrit (hyväksyttyjen säätimien joukko, joka on yleensä sarja kappaleittain jatkuvia toimintoja).

Lisäksi yleensä.

Ohjaus on valittava siten, että tietty toimivuus (polttoaineenkulutus) minimoidaan ja samalla päästään tiettyyn pisteeseen tilassa.

Lavastus klassinen ongelma optimointi

Tavoitefunktio, jonka arvo kuvaa tavoitteen saavutusastetta (jonka nimissä tehtävä asetetaan tai ratkaistaan);

X on joukko toteutettavissa olevia ratkaisuja, joiden joukossa haku suoritetaan; - n-ulotteinen euklidinen avaruus.

Määritelmä 1. Pistettä kutsutaan joukon X funktion paikalliseksi minimi [maksimi] pisteeksi, jos pisteellä on sellainen ympäristö, että se on tosi.

Toisin sanoen ehdollinen maksimi (minimi) pisteessä on funktion suurin (pienin) arvo suhteessa kaikkiin pisteisiin tietyltä pisteen lähialueelta, vaan vain niihin, jotka kuuluvat joukkoon X.

On huomattava, että itse funktiolla ei välttämättä ole ääripäätä, mutta sillä voi olla ehdollinen ääripää.

Määritelmä 2. Pistettä kutsutaan joukon X funktion globaalin (absoluuttisen) minimin [maksimi] pisteeksi, jos funktio saavuttaa minimi-[maksimi]-arvonsa tässä pisteessä, ts. .

Huomautuksia.

• 1) Ongelma rajoittuu minimin löytämisen ongelmaan seuraavasti: .
• 2) Jos, niin tehtävää (1) kutsutaan ehdottomaksi optimointitehtäväksi. Jos X on määritelty x:lle asetettujen ehtojen (rajoitusten) avulla, niin tehtävää (1) kutsutaan rajoitetuksi optimointiongelmaksi.
• 3) Merkitään funktion globaalin minimin pisteiden joukko joukossa X.

Tällöin ongelman (1) ratkaiseminen tarkoittaa:

Etsi joukko ja tavoitefunktion arvo tämän joukon pisteistä;

• - jos, niin etsi;
• - varmista, että funktio ei ole rajattu X:n alapuolelle;
• - Varmista että.

Määritelmä 1. Jatkuvasti differentioituvan funktion gradientti pisteessä x on sarakevektori, jonka alkiot ovat tässä pisteessä laskettuja ensimmäisen kertaluvun osittaisia ​​derivaattoja:

Määritelmä 2. Pisteessä x kahdesti jatkuvasti differentioituvan funktion Hessin-matriisi on tietyssä pisteessä laskettujen toisen kertaluvun osittaisten derivaattojen matriisi:

Hessian matriisi on symmetrinen kokomatriisi.

Funktion gradientti suunnataan normaalisti tasopinnalle (eli kohtisuoraan pisteessä x piirrettyä tangenttitasoa vastaan) funktion suurimman kasvun suuntaan tietyssä pisteessä.

Antigradienttivektori on vektori, joka on yhtä suuri kuin gradienttivektori, mutta suunnaltaan vastakkainen.

Antigradienttivektori osoittaa funktion suurimman laskun suunnan tietyssä pisteessä.

Gradienttia ja Hessin matriisia käyttämällä Taylor-laajennusta käyttämällä funktion inkrementti pisteessä x voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Euklidinen vektori normi

Laajennuksen kaikkien termien summa, joiden kertaluku on suurempi kuin sekunti suhteessa argumentin kasvuun.

Lauseketta kutsutaan muuttujien neliömuotoiseksi muodoksi.

Näin ollen paikallaan olevassa pisteessä (jossa funktion gradientti on nolla) funktion inkrementin etumerkki osuu yhteen lausekkeen etumerkin kanssa.

Määritelmä 3. Neliömuotoa (sekä vastaavaa Hessin matriisia) kutsutaan:

positiivinen määrätty (>0), jos epäyhtälö pätee mille tahansa nollasta poikkeavalle arvolle;

negatiivinen definite (), jos epäyhtälö pätee mille tahansa nollasta poikkeavalle;

positiivinen puolidefiniitti (), jos epäyhtälö 0 pätee mille tahansa ja on nollasta poikkeava vektori, jolle =0;

negatiivinen puolidefiniitti (), jos epäyhtälö 0 pätee mille tahansa ja jolle on nollasta poikkeava vektori;

undefined (), jos on vektoreita siten, että epäyhtälöt täyttyvät, ;

yhtä suuri kuin nolla (), jos jollekin se pätee.

Sylvesterin kriteeri. 1) Jotta neliömuoto matriisin kanssa olisi positiivinen, on välttämätöntä ja riittävää, että matriisin kaikki kulmamollit ovat positiivisia.

2) Jotta neliömuoto matriisin kanssa olisi negatiivinen määrätty, on välttämätöntä ja riittävää, että kaikki parittoman kertaluvun matriisin kulmamollit ovat negatiivisia ja parillisen kertaluvun kulmamollit positiivisia.

Lause (Ehdottoman ääripään riittävät ehdot) Jos funktiolla, joka on kahdesti jatkuvasti differentioituva kiinteässä pisteessä, on toinen differentiaali tässä pisteessä positiivinen määrätty neliömuoto, niin piste on tiukan minimin piste, ja jos se on negatiivinen definitiivinen, niin se on tiukan maksimin piste, ja jos se on epämääräinen muoto, niin tarkasteltavassa pisteessä ei ole ääripäätä.

Esimerkki:

on positiivinen määrätty mille tahansa X:lle, joten piste (2, 4, 6) on paikallinen minimipiste, ja koska tämä on ainoa kiinteä piste, se on myös globaali minimipiste.

Optimointiongelman ratkaisemiseksi klassista menetelmää käyttäen on siis ratkaistava yhtälöjärjestelmä, jota ei voida tehdä analyyttisesti paitsi hyvin kapealla tällaisten järjestelmien ryhmällä (esimerkiksi matalan kertaluvun lineaaristen yhtälöiden järjestelmä). Sitten meidän on myös vahvistettava Hessenin määräisyys, mikä on myös täysin ei-triviaali tehtävä suurten ulottuvuuksien tapauksessa. Kaikki tämä johtaa tarpeeseen kehittää iteratiivisia menettelyjä optimointiongelmien ratkaisemiseksi.

Hyväksyttävin päätösvaihtoehto, joka on tehty esimiestaso Mitä tulee kysymykseen, sitä pidetään optimaalisena, ja sen etsimisprosessia pidetään optimoinnina.

Tuotannonhallinnan organisatoristen, sosioekonomisten, teknisten ja muiden näkökohtien keskinäinen riippuvuus ja monimutkaisuus johtuu tällä hetkellä johtamispäätöksen tekemisestä, joka vaikuttaa useisiin erityyppisiin tekijöihin, jotka ovat tiiviisti kietoutuneet toisiinsa, minkä vuoksi siitä tulee mahdotonta analysoida kukin erikseen perinteisillä analyysimenetelmillä.

Useimmat tekijät ovat ratkaisevia päätöksentekoprosessissa, eikä niitä (luonnollisesti) voida mitata. On myös niitä, jotka ovat käytännössä ennallaan. Tältä osin oli tarpeen kehittää erityisiä menetelmiä, joilla voitaisiin varmistaa tärkeiden valinta johdon päätöksiä monimutkaisten organisatoristen, taloudellisten ja teknisten ongelmien puitteissa (asiantuntija-arviot, toimintatutkimus ja optimointimenetelmät jne.).

Toimintatutkimukseen tähtäävillä menetelmillä etsitään optimaalisia ratkaisuja sellaisilla johtamisen osa-alueilla kuin tuotanto- ja kuljetusprosessien organisointi, suurtuotannon suunnittelu, materiaali- ja tekninen hankinta.

Ratkaisujen optimointimenetelmiin kuuluu tutkimusta vertaamalla numeerisia arvioita useista tekijöistä, joiden analysointia ei voida tehdä perinteisillä menetelmillä. Optimaalinen ratkaisu on paras mahdollisista vaihtoehdoista suhteessa talousjärjestelmään ja hyväksyttävin järjestelmän yksittäisten osien suhteen on epäoptimaalinen.

Toimintatutkimusmenetelmien ydin

Kuten aiemmin mainittiin, ne muodostavat menetelmiä johtamispäätösten optimointiin. Niiden perustana ovat matemaattiset (deterministiset), todennäköisyysmallit, jotka edustavat tutkittavaa prosessia, toiminnan tyyppiä tai järjestelmää. Tämäntyyppinen malli edustaa vastaavan ongelman kvantitatiivista ominaisuutta. Ne toimivat perustana tärkeiden johtamispäätösten tekemiselle optimaalisen vaihtoehdon etsinnässä.

Luettelo ongelmista, joilla on merkittävä rooli suorille tuotantojohtajille ja jotka ratkaistaan ​​tarkasteltavien menetelmien käytön aikana:

• valittujen päätösvaihtoehtojen pätevyysaste;
• kuinka paljon parempia ne ovat kuin vaihtoehdot;
• määräävien tekijöiden huomioimisen aste;
• mikä on valittujen ratkaisujen optimaalisuuden kriteeri.

Näillä päätöksenteon optimointimenetelmillä (managerial) pyritään löytämään optimaaliset ratkaisut mahdollisimman monelle yritykselle, yritykselle tai niiden toimialalle. Ne perustuvat olemassa oleviin saavutuksiin tilastollisilla, matemaattisilla ja talouden aloilla (peliteoria, jonotus, grafiikka, optimaalinen ohjelmointi, matemaattiset tilastot).

Asiantuntijaarviointimenetelmät

Näitä johtamispäätösten optimointimenetelmiä käytetään silloin, kun ongelma ei ole osittain tai kokonaan formalisoinnin alainen, eikä sen ratkaisua löydy matemaattisilla menetelmillä.

Asiantuntijuus on monimutkaisten erityiskysymysten tutkimusta tietyn johtamispäätöksen kehittämisvaiheessa asiaankuuluvien henkilöiden toimesta, joilla on erityinen tietopohja ja vaikuttava kokemus johtopäätösten, suositusten, mielipiteiden ja arvioiden saamiseksi. Asiantuntijatutkimuksessa hyödynnetään sekä tieteen että tekniikan uusimpia saavutuksia asiantuntijan erikoistumisen puitteissa.

Tarkasteltavat menetelmät useiden johtamispäätösten optimoimiseksi (asiantuntija-arvioinnit) ovat tehokkaita seuraavien tuotantoalan johtamistehtävien ratkaisemisessa:

1. Monimutkaisten prosessien, ilmiöiden, tilanteiden, järjestelmien tutkiminen, joille on ominaista epämuodolliset, laadulliset ominaisuudet.
2. Tuotantojärjestelmän toiminnan ja kehityksen kannalta ratkaisevien merkittävien tekijöiden järjestys ja määrittäminen tietyn kriteerin mukaan.
3. Tarkasteltavat optimointimenetelmät ovat erityisen tehokkaita ennakoimaan tuotantojärjestelmän kehitystrendejä sekä sen vuorovaikutusta ulkoisen ympäristön kanssa.
4. Lisääntynyt luotettavuus asiantuntija-arvio Pääasiassa kohdennetaan luonteeltaan määrällisiä ja laadullisia toimintoja pätevien asiantuntijoiden mielipiteiden keskiarvon avulla.

Ja nämä ovat vain muutamia menetelmiä useiden johtamispäätösten optimoimiseksi (asiantuntijaarviointi).

Tarkasteltavien menetelmien luokittelu

Menetelmät optimointiongelmien ratkaisemiseksi parametrien lukumäärän perusteella voidaan jakaa seuraaviin:

• Yksiulotteiset optimointimenetelmät.
• Moniulotteiset optimointimenetelmät.

Niitä kutsutaan myös "numeerisiksi optimointimenetelmiksi". Tarkemmin sanottuna nämä ovat algoritmeja sen etsimiseen.

Osana johdannaisten käyttöä menetelmät ovat:

• suorat optimointimenetelmät (nollajärjestys);
• gradienttimenetelmät (1. kertaluokka);
• 2. tilausmenetelmät jne.

Suurin osa moniulotteisista optimointimenetelmistä on lähellä toisen menetelmäryhmän (yksiulotteinen optimointi) ongelmaa.

Yksiulotteiset optimointimenetelmät

Kaikki numeeriset optimointimenetelmät perustuvat sellaisten ominaisuuksien, kuten tavoitefunktion arvojen ja funktioiden, jotka määrittävät sallitun joukon ja niiden derivaatat, likimääräiseen tai tarkkaan laskemiseen. Jokaisen yksittäisen tehtävän osalta voidaan siis ratkaista kysymys laskentaominaisuuksien valinnasta riippuen tarkasteltavan funktion olemassa olevista ominaisuuksista, käytettävissä olevista ominaisuuksista ja tiedon tallennuksen ja käsittelyn rajoituksista.

On olemassa seuraavat menetelmät optimointiongelmien ratkaisemiseen (yksiulotteinen):

• Fibonaccin menetelmä;
• dikotomiat;
• kultainen leikkaus;
• askeleen kaksinkertaistaminen.

Fibonaccin menetelmä

Ensin sinun on asetettava välin pisteen x koordinaatit luvuksi, joka on yhtä suuri kuin eron (x - a) suhde erotukseen (b - a). Siksi a:n koordinaatti on 0 suhteessa väliin ja b:n koordinaatti on 1 ja keskipiste on ½.

Jos oletetaan, että F0 ja F1 ovat keskenään yhtä suuria ja otetaan arvo 1, F2 on yhtä suuri kuin 2, F3 - 3, ..., niin Fn = Fn-1 + Fn-2. Joten Fn ovat Fibonacci-lukuja, ja Fibonacci-haku on optimaalinen strategia niin sanotulle peräkkäiselle maksiminhakulle, koska se liittyy niihin melko läheisesti.

Osana optimaalista strategiaa on tapana valita xn - 1 = Fn-2: Fn, xn = Fn-1: Fn. Millä tahansa kahdesta intervallista (tai), joista kukin voi toimia kapeana epävarmuuden välinä, pisteellä (perityllä) suhteessa uuteen väliin on joko koordinaatit tai . Seuraavaksi pisteeksi otetaan xn - 2, jolla on jokin esitetyistä koordinaateista suhteessa uuteen väliin. Jos käytät F(xn - 2), funktioarvoa, joka peritään edellisestä intervallista, on mahdollista pienentää epävarmuusväliä ja periä yksi funktion arvo.

Viimeisessä vaiheessa on mahdollista siirtyä epävarmuusvälille, kuten , kun taas keskipiste peritään edellisestä vaiheesta. Kuten x1, asetetaan piste, jonka suhteellinen koordinaatti on ½+ε, ja lopullinen epävarmuusväli on tai [½, 1] suhteessa .

Ensimmäisessä vaiheessa tämän välin pituus pienennettiin arvoon Fn-1: Fn (yhdestä). Viimeistelyvaiheissa vastaavien välien pituuksien pienenemistä edustavat luvut Fn-2: Fn-1, Fn-3: Fn-2, ..., F2: F3, F1: F2 (1 + 2ε ). Joten tällaisen aikavälin pituus lopullisena versiona saa arvon (1 + 2ε) : Fn.

Jos jätämme huomiotta ε, niin asymptoottisesti 1: Fn on yhtä suuri kuin rn, jossa n→∞ ja r = (√5 - 1) : 2, mikä on suunnilleen yhtä kuin 0,6180.

On syytä huomata, että asymptoottisesti merkitsevälle n:lle jokainen seuraava Fibonacci-haun vaihe kaventaa merkittävästi tarkasteltua väliä yllä olevan kertoimen verran. Tätä tulosta on verrattava arvoon 0,5 (epävarmuusvälin kaventamiskerroin puolitusmenetelmässä funktion nollakohdan löytämiseksi).

Dikotomia menetelmä

Jos kuvittelet tietyn tavoitefunktion, sinun on ensin löydettävä sen ääriarvo väliltä (a; b). Tätä varten abskissa-akseli jaetaan neljään vastaavaan osaan, jolloin on tarpeen määrittää kyseisen funktion arvo 5 pisteessä. Seuraavaksi valitaan niistä minimi. Funktion ääripään on oltava minimipisteen vieressä olevan intervallin (a"; b" sisällä). Hakurajoja kavennetaan 2 kertaa. Ja jos minimi sijaitsee pisteessä a tai b, se kapenee kaikki neljä kertaa. Uusi intervalli on myös jaettu neljään yhtä suureen osaan. Koska tämän funktion arvot kolmessa pisteessä määritettiin edellisessä vaiheessa, on sitten tarpeen laskea tavoitefunktio kahdessa pisteessä.

Kultaisen suhteen menetelmä

Merkittävissä n:n arvoissa pisteiden, kuten xn ja xn-1, koordinaatit ovat lähellä 1 - r, yhtä kuin 0,3820 ja r ≈ 0,6180. Työntö näistä arvoista on hyvin lähellä haluttua optimaalista strategiaa.

Jos oletetaan, että F(0.3820) > F(0.6180), niin väli on ääriviivattu. Kuitenkin johtuen siitä, että 0,6180 * 0,6180 ≈ 0,3820 ≈ xn-1, niin F tunnetaan jo tässä vaiheessa. Tästä johtuen jokaisessa vaiheessa, alkaen 2., tarvitaan vain yksi tavoitefunktion laskenta, ja jokainen askel pienentää tarkasteltavan aikavälin pituutta kertoimella 0,6180.

Toisin kuin Fibonacci-haku, tämä menetelmä ei vaadi numeron n korjaamista ennen haun aloittamista.

Leikkauksen (a; b) "kultainen leikkaus" on leikkaus, jossa sen pituuden r suhde suurempaan osaan (a; c) on sama kuin suuremman osan r suhde pienempään, eli , (a; c) - (c; b). Ei ole vaikea arvata, että r määräytyy yllä olevan kaavan mukaan. Näin ollen merkitsevälle n:lle Fibonacci-menetelmä menee tähän.

Askeltuplausmenetelmä

Olennaista on tavoitefunktion laskusuunnan etsiminen, liikkuminen tähän suuntaan onnistuneen etsinnässä asteittain kasvavalla askeleella.

Ensin määritetään funktion F(M) alkukoordinaatti M0, pienin askelarvo h0 ja hakusuunta. Sitten määritetään funktio pisteessä M0. Seuraavaksi otamme askeleen ja löydämme tämän funktion arvon tässä vaiheessa.

Jos funktio on pienempi kuin edellisessä vaiheessa ollut arvo, seuraava askel tulee ottaa samaan suuntaan, kun se on ensin kasvatettu 2 kertaa. Jos sen arvo on suurempi kuin edellinen, sinun on muutettava hakusuuntaa ja aloitettava sitten liikkuminen valittuun suuntaan vaiheilla h0. Esitettyä algoritmia voidaan muokata.

Moniulotteiset optimointimenetelmät

Edellä mainittu nolla-asteen menetelmä ei ota huomioon minimoidun funktion derivaattoja, minkä vuoksi niiden käyttö voi olla tehokasta, jos johdannaisten laskennassa ilmenee vaikeuksia.

Ensimmäisen asteen menetelmien ryhmää kutsutaan myös gradienttimenetelmiksi, koska hakusuunnan määrittämiseen käytetään tietyn funktion gradienttia - vektoria, jonka komponentit ovat minimoidun funktion osaderivaatat suhteessa vastaaviin optimoituihin parametreihin. .

Toisen asteen menetelmien ryhmässä käytetään 2 johdannaista (niiden käyttö on melko rajoitettua laskentavaikeuksien vuoksi).

Luettelo rajoittamattomista optimointimenetelmistä

Käytettäessä moniulotteista hakua ilman johdannaisia, rajoittamattomat optimointimenetelmät ovat seuraavat:

• Hook and Jeeves (suorittaa 2 tyyppistä hakua - mallipohjainen ja tutkiva);
• minimointi oikealla simpleksillä (vastaavan funktion minimipisteen etsiminen vertaamalla sen arvoja simpleksin kärjessä jokaisessa yksittäisessä iteraatiossa);
• syklinen koordinaattilasku (käyttäen koordinaattivektoreita vertailupisteinä);
• Rosenbrock (perustuu yksiulotteisen minimoinnin käyttöön);
• minimointi käyttämällä epämuodostunutta simpleksiä (minimointimenetelmän muuntaminen tavallisella simpleksillä: puristus- ja venytysmenettelyn lisääminen).

Johdannaisten käytön tilanteessa moniulotteisessa haussa erotetaan jyrkimmän laskeutumisen menetelmä (perustavallisin menetelmä useiden muuttujien differentioituvan funktion minimoimiseksi).

On myös muita menetelmiä, jotka käyttävät konjugaattisuuntia (Davidon-Fletcher-Powell-menetelmä). Sen ydin on hakusuuntien esittäminen muodossa Dj*grad(f(y)).

Matemaattisten optimointimenetelmien luokittelu

Perinteisesti ne ovat funktioiden ulottuvuuden (kohde) perusteella:

• 1 muuttujalla;
• moniulotteinen.

Funktiosta riippuen (lineaarinen tai epälineaarinen) on olemassa suuri määrä matemaattisia menetelmiä, joiden tarkoituksena on löytää ääripää ongelman ratkaisemiseksi.

Johdannaisten käyttökriteerin perusteella matemaattiset optimointimenetelmät jaetaan:

• menetelmät tavoitefunktion 1 derivaatan laskemiseksi;
• moniulotteinen (1. derivaatta-vektori määrä-gradientti).

Laskennan tehokkuuden perusteella on:

• menetelmät ääriarvojen nopeaan laskemiseen;
• yksinkertaistettu laskelma.

Tämä on tarkasteltavien menetelmien ehdollinen luokitus.

Liiketoimintaprosessien optimointi

Tässä voidaan käyttää erilaisia ​​menetelmiä ratkaistavista ongelmista riippuen. On tapana erottaa seuraavat menetelmät liiketoimintaprosessien optimoimiseksi:

• poikkeukset (olemassa olevan prosessin tasojen vähentäminen, häiriöiden ja saapuvan valvonnan syiden poistaminen, kuljetusreittien vähentäminen);
• yksinkertaistaminen (helpotettu tilausten käsittely, tuoterakenteen monimutkaisuuden vähentäminen, työnjako);
• standardointi (erityisten ohjelmien, menetelmien, tekniikoiden jne. käyttö);
• kiihdytys (rinnakkaissuunnittelu, stimulaatio, prototyyppien toiminnallinen suunnittelu, automaatio);
• muutos (raaka-aineiden, tekniikan, työmenetelmien, henkilöstön, työjärjestelmien, tilausvolyymien, käsittelymenetelmien muutokset);
• vuorovaikutuksen varmistaminen (suhteessa organisaatioyksiköt, henkilöstö, työjärjestelmä);
• valinta ja sisällyttäminen (suhteessa tarvittaviin prosesseihin, komponentteihin).

Veron optimointi: menetelmät

Venäjän lainsäädäntö tarjoaa veronmaksajalle erittäin runsaat mahdollisuudet alentaa veroja, minkä vuoksi on tapana erottaa ne minimoimiseen tähtäävät menetelmät yleisiksi (klassisiksi) ja erityisiksi.

Yleiset verotuksen optimointimenetelmät ovat seuraavat:

• yrityksen kirjanpitopolitiikan laatiminen käyttämällä mahdollisimman paljon Venäjän lainsäädännön tarjoamia mahdollisuuksia (pienten yritysten poistomenettely, tavaroiden myynnistä saatujen tulojen laskentatavan valinta jne.);
• optimointi sopimuksen avulla (etuoikeutettujen liiketoimien tekeminen, selkeä ja asiantunteva sanamuodon käyttö jne.);
• erilaisten etuuksien ja verovapautusten soveltaminen.

Myös toista menetelmäryhmää voivat käyttää kaikki yritykset, mutta niiden käyttöalue on silti melko kapea. Erikoismenetelmiä verotuksen optimointi on seuraava:

• suhteiden korvaaminen (raskasta verotusta sisältävä toimenpide korvataan toisella, jonka avulla voidaan saavuttaa samanlainen tavoite, mutta samalla käyttää veroetukohtelua).
• suhteiden jakaminen (vain liiketapahtuman osan korvaaminen);
• veronmaksun lykkäys (verotettavan esineen ilmestymishetken lykkääminen toiselle kalenterikaudelle);
• verotuskohteen välitön alentaminen (päästä eroon monista verotettavista liiketoimista tai omaisuudesta ilman kielteistä vaikutusta Taloudellinen aktiivisuus yritykset).

UDC 711.4 MAZAEV A.G

Optimointimenetelmät ja -kriteerit moderni teoria uudelleensijoittaminen

Artikkelissa käsitellään optimoinnin käsitettä kaupunkisuunnittelussa. Termin "optimointi" alkuperä esitetään, sen yhteys tieteen metodologian ja erityisesti taloustieteen perustermeihin. Siinä esitetään mahdollisuudet optimoinnin käsitteen edelleen kehittämiseen kaupunkisuunnittelussa. Johtopäätöksenä ehdotetaan joukko optimointikriteereitä, joita sovelletaan kaupunkisuunnitteluun.

Avainsanat: optimointi kaupunkisuunnittelussa, optimointiteoria, optimointikriteerit ja -menetelmät, Pareto-kriteeri.

MENETELMÄT JA KRITEERIT OPTIMOINTI MODERNESSA ASUTUKSENTEORIASSA

Lausekkeessa tarkastellaan kaupunkisuunnittelun optimoinnin käsitettä. Optimointi-termin alkuperä, sen kommunikointi tieteen, talouden metodologian alan peruskäsitteiden kanssa esitetään. Tarkastellaan mahdollisuuksia kehittää optimointikonseptia nykyaikaisessa kaupunkisuunnittelussa. Tarjotaan optimoinnin kriteerit, jotka ovat mahdollisia nykyaikaisessa kaupunkisuunnittelutoiminnassa.

Avainsanat: optimointi kaupunkisuunnittelussa, optimointiteoria, optimointiperusteet ja -menetelmät, kriteeri Pareto.

Mazaev Anton

Grigorjevitš

arkkitehtuurin kandidaatti, RAASN:n neuvonantaja, johtaja. Liittovaltion budjettilaitoksen "TsNIIP Venäjän rakennusministeriö" UralNIIproektin sivuliikkeen laboratorio

sähköposti: [sähköposti suojattu]

Tämän artikkelin tarkoituksena on esittää teoreettinen pohdinta "optimoinnin" käsitteestä suhteessa kaupunkisuunnittelukohteisiin - kaupunkeihin ja asutusjärjestelmiin. Venäjän suuren alueen asutuksen optimointi Ural-alueen esimerkin avulla liittovaltiopiiri on kirjoittajan jatkuvan keskustelun aihe tieteellinen tutkimus. Tämän aiheen relevanssi liittyy kiireelliseen kysymykseen Venäjän kansallisen järjestelmän alueellisten asutusjärjestelmien kehittämisen virtaviivaistamisesta, jonka kehityksestä on tullut hallitsematonta ja epätasapainoista. Aiheen kehittämismetodologia perustuu parhaillaan muodostuvaan teoriaan asutuksen geopoliittisesta kehityksestä.

Optimoinnin käsite moderni tiede

On tarpeen selventää optimoinnin käsitettä tieteen teoriassa ja antaa sitten sen määritelmä suhteessa ratkaisuteoriaan. Aluksi termi "optimointi" syntyi matematiikassa: "Optimointi on matematiikassa, tietojenkäsittelytieteessä ja operaatiotutkimuksessa ongelma löytää objektiivifunktion ääriarvo (minimi tai maksimi) äärellisulotteisen vektoriavaruuden joltakin alueelta, jota rajoittaa joukko lineaarisia ja/tai epälineaarisia yhtäläisyyksiä ja/tai epäyhtälöitä. Opiskelee teoriaa ja menetelmiä optimointiongelmien ratkaisemiseksi

matemaattinen ohjelmointi... (Se) käsittelee matemaattisia menetelmiä ongelmien ratkaisemiseksi löytää parhaat vaihtoehdot kaikista mahdollisista." The Great Soviet Encyclopedia selventää: "Optimointi on prosessi, jossa löydetään ääriarvo (globaali maksimi tai minimi) tietty toiminto tai valita paras (optimaalinen) vaihtoehto monista mahdollisista. Luotettavin tapa löytää paras vaihtoehto on vertaileva arviointi kaikki mahdolliset vaihtoehdot (vaihtoehdot)". Toisin sanoen samalle ilmiölle, järjestelmälle voi olla monia optimointikriteerejä. Voit optimoida mitä tahansa ja useiden optimointikriteerien mukaan. Lisäksi nämä kriteerit voivat olla ristiriidassa keskenään, ja optimointia varten on tarpeen päättää niistä, muuten optimointiongelman ratkaisu osoittautuu virheelliseksi, toisin sanoen vääräksi, vaaralliseksi ja tehottomaksi. Lähteet tulkitsevat optimoinnin sisällön eri tavalla tietyn tieteenalan päämäärien ja tavoitteiden perusteella. Esimerkiksi taloussanakirja tulkitsee tätä käsitettä seuraavasti: "Optimointi on arvojen määrittämistä taloudelliset indikaattorit, jossa saavutetaan optimi, eli järjestelmän optimaalinen, paras tila. Useimmiten optimi vastaa korkeimman tuloksen saavuttamista tietyllä resurssilla.

tai tietyn tuloksen saavuttaminen pienin resurssikustannuksin." Toisin sanoen optimointi liittyy resurssikustannuksiin ja niiden käytön tehokkuuteen.

Optimoinnin käsite talousteoriassa

Juuri taloustieteessä optimointikysymykset nostetaan useimmiten esiin kiireellisenä tieteellisenä ja käytännön ongelmana. Sisällä talousteorioita on kehitetty kehittynyt optimointiteoria, ja taloustieteellä ja asutusteorialla on samanlainen tutkimuskohde - yhteiskunta kokonaisuutena, sen taloudelliset tarpeet sillä erolla, että asutusteoria käsittelee ihmiselämän spatiaalista näkökulmaa.

Taloustieteilijät antavat suuren määrän optimoinnille määritelmiä, jotka voidaan laajentaa selvitysteorian kysymyksiin. "Optimointi – yhteiskunnan taloudellisen hyvinvoinnin maksimointi suhteessa makrotaloudellisiin tavoitteisiin". Tästä voimme johtaa käsitys optimoinnista tietyn resurssin rakentamisena, joka tunnistetaan hyvään. Tässä tapauksessa puhutaan taloudellisesta hyvinvoinnista avainhyödykkeenä, ja optimointi liittyy ei optimaalisen arvon tai arvojoukon saavuttamiseen, vaan tämän hyödyn rajattomaan lisäykseen.

Tilaavimman ja syvällisimmän optimoinnin määritelmän antoi aikoinaan V. Pareto: "... Mikä tahansa muutos, joka ei aiheuta tappioita kenellekään ja joka tuottaa hyötyä joillekin ihmisille (heidän oman arvionsa mukaan), on parannus." Tällä kriteerillä on hyvin laaja merkitys: sitä käytetään tällaisten ongelmien ratkaisemisessa, kun optimointi tarkoittaa joidenkin indikaattoreiden parantamista edellyttäen, että toiset eivät heikkene, sekä kun talousjärjestelmän kehityssuunnitelman laatimiseen sovelletaan koostumusta, jossa otetaan huomioon ottamaan huomioon sen muodostavien alajärjestelmien (taloudellisten kohteiden) edut. Yllä oleva määritelmä voidaan formalisoida seuraavalla lauseella: talouden tilaa S* pidetään V. Pareton mukaan parempana kuin toista tilaa B1, jos ainakin yksi taloussubjekti suosii S*:ta ja kaikki muut eivät ainakaan. erottaa nämä tilat toisistaan, mutta samaan aikaan ei ole ihmisiä, jotka suosivat 81:tä; V. Pareton mukaan tila 8* on välinpitämätön tilaan B1 nähden, jos kaikki taloudelliset yksiköt eivät tee eroa niiden välillä; Lopuksi on optimaalista, jos ei ole mahdollista talouden tilaa, joka olisi tätä parempi. V. Pareton optimaalisuuskriteerillä on suuri metodologinen merkitys, koska se antaa käsityksen siitä, mikä muutos talousjärjestelmä voidaan kutsua positiiviseksi, eli sen yleiseen parantamiseen tähtääväksi, ja mitä ei. Joidenkin koehenkilöiden taloudellisen hyvinvoinnin kasvua toisten kustannuksella ei voida pitää positiivisena tämän kriteerin mukaan. Kuvassa 1 on esitetty B. Pareton kriteerin vaikutus kaavion muodossa, jossa näkyy alue "hyväksyttävistä arvoista", jotka parantavat ainakin yhtä indikaattoria ilman, että muut heikkenevät.

Uskomme, että on mahdotonta antaa yhtä yksityiskohtaista optimoinnin määritelmää kaikentyyppisille ihmistoiminnoille niiden pohjimmiltaan erilaisen luonteen vuoksi. Optimointiongelmien tutkimus on saanut merkittävää kehitystä Neuvostoliitossa sen talouden suunnitelmallisuudesta johtuen. Taloudellisen optimoinnin kysymykset askarruttivat Neuvostoliiton tiedemiehiä aina siirtymiseen asti markkinatalous. Lisäksi ongelman vakavuus

Kuva 1. Pareto-optimiteetti

talouden optimointi ei heikentynyt tuotevalikoiman nopean kasvun, huomattavan määrän tuotantolaitosten sijainnin laajalla alueella ja sen seurauksena suuren rahtiliikenteen vuoksi. Länsimaiset tiedemiehet kohtasivat samanlaisia ​​kysymyksiä, erityisesti optimointikysymys tuli akuutiksi toisen maailmansodan aikana, kun samankaltaiselle syntyi tarve. keskitetty hallinta suuria määriä joukkoja, varusteita ja varusteita. Viime vuosikymmeninä on kehitetty monia teoreettisia ja sovellettavia optimointitekniikoita, jotka on systemaattisesti esitetty kuvassa 2.

Optimoinnin käsite kaupunkisuunnittelutieteessä

Tätä kaupunkisuunnittelun käsitettä käytettiin neuvostokaudella useissa merkityksissä. Ensinnäkin se yhdistettiin taloudellisen optimoinnin käsitteeseen, joka palvelee taloudellisia etuja. Kaupunkisuunnittelu ymmärrettiin yhtenä optimointityökaluna, jonka tehtävänä on sovittaa yhteen tuotantokompleksin edut väestön etujen kanssa. Erilaisia ​​optimointikonsepteja syntyi, joista tärkein oli GSNM-konsepti - asuttujen alueiden ryhmäjärjestelmät. Se oli yritys optimoida asutusta vähentämällä monitekijäisesti sen puutteita - maaseutuväestön eristäytyminen työpaikoista ja kulttuurikeskuksista, liiallinen kaupunkien hajaantuminen, joka kuormittaa valtavasti biosfääriä.

GSNM-konsepti toteutettiin 1970-luvulla kehitetyn Neuvostoliiton yleisen sovittelujärjestelmän puitteissa. GSNM:n luomisen tarkoituksena oli optimoida siihen mennessä vauhdittuneiden suurten ja keskisuurten kaupunkien taajamaprosessi. Kaupunkien mielivaltaisen "liittymisen" sijaan olisi pitänyt luoda hierarkkinen organisaatio. Toinen seuraus optimoinnista kaupunkisuunnittelussa

Kuva 2. Perusmenetelmät optimointiongelmien ratkaisemiseksi. Järjestelmällinen yhteenveto sen eri tekniikoista

alkoi selvittää kaupunkien niin sanottua "optimaalista kokoa" koskevaa kysymystä. Ymmärrettiin, että koska joissakin kaupungeissa on liikaa ylikansoitusta, niin sitä on optimaalinen määrä, jonka kaupunkisuunnittelutiede voi laskea. "..."Optimaalisen" kaupungin käsite pysyi yhtenä Neuvostoliiton kaupunkisuunnittelupolitiikan tärkeimmistä elementeistä. Ei ollut epäilystäkään, etteikö tällainen optimi olisi olemassa. Erimielisyydet alkoivat, kun yritettiin määrittää, millaista populaatiota tulisi pitää optimaalisena. 1920-luvulla 50 000 asukkaan määrä vaikutti optimaaliselta. Se oli riittävän suuri mittakaavaetujen ja kaupunkiinfrastruktuurin edut ymmärtämiseksi, mutta ei niin suuri, että se tuhoaisi yhteisöllisyyden tunteen ja sosialistisen yhteisöllisen etiikan. 1950-luvun puolivälissä. optimiarviot vaihtelivat 150 000 ja 200 000 välillä, ja vuoteen 1960 mennessä ne nousivat 250-300 tuhanteen ihmiseen ja tämän käsitteen legitiimiys. asetettiin kyseenalaiseksi." Kiista osoittautui skolastiseksi, koska kaupungin optimaalinen koko ei riipu absoluuttisesta koosta

sen väestön määrä, vaan taloudellinen ja maantieteellinen asema asutusjärjestelmässä. Toisin sanoen kaupungin absoluuttinen koko ei ole tärkeä, vaan suhteellinen koko, jokaisessa erityinen tapaus eri.

Kysymys tästä kaupungin optimaalisesta koosta nousi uudella tavalla akuutiksi 1960-1970-luvuilla, kun Neuvostoliiton suurten ja suurten kaupunkien määrä alkoi kasvaa ja niiden puutteet tulivat huomattavia. Artikkelissa, jonka tyypillinen otsikko on ”Kaupungin maksimikoko” (1970), todettiin: ”Kaupunkijohtamisen kannalta edullisimpia kaupunkeja ovat ne, joissa pääomasijoitusten määrä ja käyttökustannukset asukasta kohden ovat pienemmät. Sekä liian pienet kaupungit että jättikaupungit osoittautuvat epätaloudellisiksi. Kaupunkirakentamisessa ilmenee kaikille talouden aloille yhteinen periaate, jonka mukaan suuri talousyksikkö on tehokkaampi kuin pieni. Pienissä kaupungeissa, joissa asuu jopa 20 tuhatta asukasta, on tarpeen luoda pieniä, matalan tuottavuuden yleishyödyllisiä ja kotitalousyrityksiä. Kun kaupungit kasvavat, ne muuttuvat taloudellisemmiksi.<.>Väestönkasvun jatkuessa tilanne pahenee.<.>mahdotonta

varmistaa kaupungin normaali toiminta ilman isompaa insinööri- ja teknistä rakentamista ja liikennemuotoja, joita ei aiemmin tarvittu."

Artikkelin kirjoittajat uskovat onnistuneensa löytämään vastauksen optimointiongelmaan: ”Punnittelemalla kaikkia etuja ja haittoja monissa maissa, mukaan lukien Neuvostoliitto, kaupunkisuunnittelijat ja taloustieteilijät tulivat siihen tulokseen, että tällä hetkellä on tarpeen rajoittaa miljoonan asukkaan kaupunkien kasvu, mikä edistää kaupunkikehitystä keskikoko(meidän kursivoitu - A. M.) ".

Näemme, että keskikokoista kaupunkia, jonka väkiluku on 50 tuhatta - 100 tuhatta asukasta, pidetään optimaalisena. Tähän johtopäätökseen ei ole samaa mieltä V. I. Perevedentsev, joka näkee ongelman ratkaisun jälleen talouselämässä, mutta syvemmällä. Se osoittaa riippuvuuksien epälineaarisen luonteen taloudellinen tehokkuus kaupungin koosta: ”Kaupunki ei ole vain taloja, joissa ihmiset asuvat, vaan myös tehtaita, joissa he työskentelevät. Vaikuttaako kaupungin koko työn tuottavuuteen? Kyllä. Isosta kaupungista on tuotannon kannalta hyötyä. Nämä ovat jakamisen edut

energia-, liikenne-, vesi- ja viemärilaitokset. Tämä on pätevän tarjoaminen työvoima... Teollisuuden alueellinen keskittyminen lisää työn tuottavuutta. Siksi iso kaupunki itse luo edellytykset tuotannon edelleen keskittymiselle.” Kirjoittaja huomauttaa lisäksi, että ihmisen "ylläpito" erittäin suuressa kaupungissa on keskimääräistä kalliimpaa, mutta ihmisen tuotto tällaisessa kaupungissa on hänen mielestään suurempi. Hän huomauttaa: ”Tällä hetkellä hyväksytty käsitys kaupungin optimaalisesta koosta on mielestäni pohjimmiltaan ja metodologisesti virheellinen. Jos otamme huomioon kulutuksen lisäksi myös tuotannon, niin optimaalinen kaupunki ei ole kaupunki, jossa ihmisen ylläpito on halvempaa, vaan se, jossa ero on sen välillä, mitä ihminen antaa ja mitä häneen kuluu. tulee olemaan suurin" [Ibid.]. Tuloksena on tietyn kaupungin asukkaaseen sovellettu kustannus-kustannusmalli, joka osoittaa, että taloudellisen tehokkuuden kasvu voi olla hyvin pitkäjänteistä kaupungin koon kasvaessa, koska yhteistyövaikutuksen ansiosta työn tuottavuus voi kasvaa. laajalla alueella. Toisin sanoen kaupungin optimaalinen koko voi olla niin suuri kuin halutaan, kunhan suuntaus kohti jokaisen yksittäisen taloudellisen tuoton kasvua jatkuu.

Samalla kirjoittaja luo käsityksen optimaalisesta kaupungin koosta. Hänen näkökulmastaan ​​kaupungin optimaalinen koko määräytyy yleensä kriteerin mukaan kaupungin koon ja aiemmin suunniteltujen arvojen mukaisuudesta. ”... Suurin osa suurkaupungin haitoista ei johdu sen koosta, vaan kaupunkisuunnittelun virheistä. Nämä ovat virheitä kaupungin kasvun ennustamisessa, kaupungin "kaluston" epäjohdonmukaisuus sen koon kanssa, puhtaasti suunnitteluvirheet ja lopuksi kapea taloudellinen lähestymistapa palvelusektoriin. Usein rakentamisen suunnitteilla on puoli miljoonaa asukasta, mutta kaupunki kasvaa miljoonaksi. Samalla kaikki kommunikaatiot, kaikki kommunikaatiot, kaupungin rakenne ja ulkoasu säilyvät periaatteessa alkuperäisen hankkeen suunnitelmien mukaisesti. Pohjimmiltaan tämä lausunto sulkee keskustelun kaupungin optimaalisesta koosta - kaupunki, jonka kehitys vastaa sen omaa yleiskaavaa, tunnustetaan optimaaliseksi.

On sanottava, että tällä kriteerillä on erittäin vaikea löytää optimaalisia kaupunkeja, koska kuten useat tutkimukset osoittavat, yleissuunnitelmien keskeisiä säännöksiä ei ole juuri koskaan toteutettu. Osoittautuu, että Venäjän kaupungit ovat kroonisesti "optimoimattomassa" tilassa.

Tämän keskustelun päätteeksi on syytä mainita itse V.I. Perevedentsevin oireellinen valitus, jonka mukaan kaupungit ovat kehityksessään siirtymässä pois optimaalisesta tilasta sen sijaan, että olisivat saavuttamassa sitä: "... Väestönkasvu oli suurinta kaupungeissa vuonna. joita vuonna 1959 oli 400-600 tuhatta ihmistä - yli 35 prosenttia. Kaupunkisuunnittelussamme vallitsevien näkemysten mukaan 50-200 tuhannen asukkaan kaupunkeja pidetään optimaalisina ja jopa 400 000 asukasta hyväksytään. Tämä tarkoittaa, että "sallitut" rajat ylittäneet kaupungit kasvoivat nopeimmin. "Optimaaliset" kaupungit kasvoivat myös nopeasti ja muuttuivat alioptimaaleiksi (meidän kursivoitu - A.M.)."

Meidän näkökulmastamme tämä keskustelu on tieteellisesti erittäin hedelmällistä, vaikka sen käytännön tulokset osoittautuivatkin negatiivisiksi, koska kaupungin optimaalista kokoa ei koskaan löydetty. Siitä huolimatta sen teoreettinen tulos voidaan eristää:

1 Kaupungin optimoinnin käsite yksitellen avainparametri- väestön koko - ei ole saanut kunnollista teoreettista ja käytännön vahvistusta. Sellaista arvoa ei ollut mahdollista selkeästi muotoilla ja perustella. Ei ole luotu menetelmää, joka ohjaa kaupunkikehitystä tehokkaasti optimaalisiin arvoihin.

2 Kysymys siitä, onko tällainen optimaalinen arvo periaatteessa olemassa, jää avoimeksi ja edelleen ratkaisematta. Sen ratkaisemiseksi tarvitaan uusia metodologisia lähestymistapoja, joita kehitetään osana meneillään olevaa Uralin liittovaltion asutusjärjestelmän optimointia koskevaa tutkimusta.

3 Kaupungin optimaalisen koon käsitteestä on syntynyt uusi ymmärrys, eräänlainen ei absoluuttinen, vaan suhteellinen optimaalinen koko, joka ei liity absoluuttisiin, vaan suhteellisiin indikaattoreihin. Lisäksi selkeimmäksi indikaattoriksi ehdotetaan kaupungin koon vastaavuutta sen yleiskaavassa määriteltyjen parametrien kanssa.

4 Kaupungin optimointikonseptin laatijat yksinkertaisesti lähestyivät kysymystään tasolla, joka ei ollut riittävä ongelmaan. Meistä näyttää siltä, ​​että todennäköisin tapa ratkaista tämä ongelma on optimoida yksittäisen kaupungin sijasta asutusjärjestelmä - alueellinen ja kansallinen. Tämä johtuu siitä, että mikä tahansa kaupunki on olemassa vain osana enemmän järjestelmää korkeatasoinen, eli selvitysjärjestelmä, ja sen optimointi tästä järjestelmästä erillään näyttää olevan vaikea tehtävä. Todellinen mittakaava, jolla optimointiongelman muotoilu ja ratkaisu on mahdollista, on selvitysjärjestelmän mittakaava. Tämän järjestelmän koon ja tason määrittäminen on ylimääräinen teoreettinen haaste.

Optimointiongelmien tyypit kaupunkisuunnittelussa

Tuli mahdolliseksi korostaa useita keskeiset kriteerit, jonka avulla on tarpeen arvioida uudelleensijoittamisen optimointiongelma. Näiden kriteerien yhdistelmä on eräänlainen matriisi, jonka pitäisi paljastaa selvitysjärjestelmien optimoinnin ongelman ydin.

1 Optimoitavan resurssin kasvun rajan olemassaolo tai puuttuminen. Joillekin optimointiongelmille optimoitavan indikaattorin teoriassa rajoittamaton kasvu on mahdollista. Tai päinvastoin, on olemassa tietty lopullinen taso, jonka jälkeen indikaattorin kasvu on mahdotonta. Meidän tapauksessamme uskomme alustavasti, että asutuksen optimointiongelma kuuluu ensimmäiseen vaihtoehtoon, koska optimointiindikaattorin kasvu liittyy väestön kokoon, ja tämä indikaattori voi teoriassa kasvaa loputtomasti.

2 Yhden optimin tai useamman optimin (optimaalinen joukko) läsnä ollessa. Ongelman tyypistä riippuen sillä voi olla yksi optimi tai useampi optimi. Meidän tapauksessamme voidaan alustavasti kuvata ongelmaa useaksi optimiksi johtuen siitä, että rajoitetulla tasaisella pinnalla jakautumisen optimoimiseksi on useita vaihtoehtoja.

3 Pareto-kriteerin täyttymisen mukaan (joidenkin elementtien optimointiparametrin kasvattaminen ei tapahdu muiden elementtien pienentämisen kustannuksella). Tässä tilanteessa on tarpeen vastata kysymykseen: onko mahdollista nostaa opti-

joidenkin selvitysjärjestelmän osien muuttaminen vähentämättä sitä koskaan toisissa. Kaupunkisuunnittelun käytäntö osoittaa, että suuren asutusjärjestelmän kehittäminen Pareto-kriteerin täyttyessä näyttää mahdottomalta. Asutusjärjestelmän elementtien kehittyminen johtuu muun muassa väestön virtauksesta asutushierarkiaa pitkin (yleensä alemmalta ylemmälle tasolle).

4 Millä kriteereillä optimointi tulisi suorittaa - yhdellä vai useammalla. Pitäisikö optimoinnin olla monikriteeri vai yksikriteeri - tässä on suurin teoreettinen ongelma. Sen ratkaisemiseksi on käytettävä jo kehitettyä metodologista laitteistoa: ensinnäkin on huomautettava, että makrotasolla yhteiskunnan elämäntoiminta muodostuu sen kolmen pääalajärjestelmän vuorovaikutuksen seurauksena. Niiden esiintymisjärjestyksessä ne voidaan luetella seuraavassa järjestyksessä:

1) Luonnonekologinen osajärjestelmä.

2) Sosiodemografinen osajärjestelmä.

3) Taloudellinen osajärjestelmä.

Historiallisen kehityksen aikana nämä alajärjestelmät synnyttivät peräkkäin toisiaan. Luonnonekologinen osajärjestelmä, joka oli alun perin olemassa mittaamattoman pitempään kuin ihminen itse, synnytti hänet evolutionaarisen kehityksensä aikana. Ihmisen toiminnan pääsuuntaiseksi älykkäänä olentona on muodostunut halu varmistaa selviytymisensä ja kehityksensä luonnonvarojen mahdollisimman tehokkaalla käytöllä ja samalla pyrkiä minimoimaan riippuvuuttaan luonnonkatastrofeista. Tämän halun ansiosta ihmisen luoma sosio-demografinen osajärjestelmä on saavuttanut merkittävän autonomian suhteessa luonnon-ekologiseen osajärjestelmään. Niiden välille alkoi muodostua suoria ja käänteisiä yhteyksiä ja ristiriitoja. Niiden voittamiseksi ihminen on luonut taloudellisen osajärjestelmän, jonka avulla ihminen voi jyrkästi lisätä tuotettujen ja kulutettujen tavaroiden määrää ja siten lujittaa eroaan luonnon-ekologisesta osajärjestelmästä. On huomattava, että aihe tässä järjestelmässä on tietysti sosiaalinen de-

demografinen alajärjestelmä, joka on kokoelma ihmisyksilöitä, jotka ovat yhdistyneet erilaisiin yhteisöihin etnisten, rodullisten, uskonnollisten ja muiden syiden perusteella. Koko historiansa ajan ihmiskunta elää ja kehittyy tässä voimakolmiossa: luonto - yhteiskunta - talous.

Kuten näette, selvitysjärjestelmää voidaan optimoida kolmella kriteerillä riippuen siitä, minkä kehitysprioriteetin yhteiskunta valitsee. Samalla aikaisemman tutkimuksen puitteissa esitettiin seuraava toteamus: alueellinen asutusjärjestelmä on mielestämme se elementti, joka pitää koossa ihmisyhteiskunnan kehityksen kolme alajärjestelmää. Tämä tapahtuu useista syistä.

Ensinnäkin siksi, että ihmiskunta yleensä ja mikä tahansa ihmisyhteisö erityisesti syntyy ja kehittyy evoluutionaalisesti muodostuneella alueella (pääasiassa maalla), joka on ennen kaikkea biosfääriavaruus - biologisten lajien olemassaololle sopiva vyöhyke. Siten ihmisten asutusten luominen tapahtuu aina ensinnäkin biosfääriin kuuluvien alueiden poissulkemisen ja käytön vuoksi. Luonnonekologinen osajärjestelmä toimii myös erittäin tärkeänä rajoittimena muiden osajärjestelmien kehitykselle ja asettaa niiden kehityksen erityispiirteet tietyissä olosuhteissa.

Toiseksi alueellisen asutusjärjestelmän kehitys heijastaa suoraan sosiodemografisen osajärjestelmän toimintaa. Alueellinen asutusjärjestelmä heijastelee keskitetysti yhteiskunnan erityispiirteitä, sen historiaa ja nykypäivää, kehitystasoa ja väestörakennetta. Nämä piirteet ilmenevät alueellisesti muun muassa väestökoon ja -tiheyden, maaseutu- ja kaupunkiväestön suhteiden ja jakautumisen sekä muuttovirtojen suunnan ja intensiteetin kautta.

Kolmanneksi taloudellinen osajärjestelmä, joka on johdannainen sosiodemografisesta osajärjestelmästä, on sen suora tilallinen jatkumo, joka suorittaa spatiaalisesti useita perustoimintoja. Tällä varmistetaan tarvittava tuotanto

kasteluprosessit, liikenneyhteyksien järjestäminen siirtokuntien välillä, tarvittavien luonnonvarojen talteenotto. Taloudellinen osajärjestelmä, kuten sen synnyttänyt sosiodemografinen osajärjestelmä, voi olla olemassa ja kehittyä vain luonnon-ekologisen osajärjestelmän puitteissa. Sen kehitys vuonna suuremmassa määrin vähentää luonnonekologisen järjestelmän tilaa sekä suoraan avaruudessa sijaitsevien aineellisten esineidensä että toimintansa seurausten kautta. Alueellinen asutusjärjestelmä on kaikkien ihmisyhteiskunnan osajärjestelmien yhdistävä elementti ja sellaisenaan niiden synteesi. Alueellisen selvitysjärjestelmän ulkopuolella ja ilman näitä osajärjestelmiä ei yksinkertaisesti voi olla olemassa.

Olemme siis tekemisissä epäselvän tilanteen kanssa. Toisaalta asutuksen optimoinnissa on kolme kriteeriä: ympäristöllinen, sosiaalinen ja taloudellinen. Samalla tutkimuksessa avautuu täysin uusi optimaalisuuskriteeri - geopoliittinen. Tämän optimointikriteerin ensisijainen käsite on annettu, sen sisältö paljastuu seuraavasti: sopivin taso alueellisten asutusjärjestelmien kehittämisen pohtimiseen on kansallinen taso. Ja alueellisen asutusjärjestelmän todellinen yksikkö on kansallinen järjestelmä uudelleensijoittaminen. Valtionrajat ovat selvitysjärjestelmän selkeitä ja perusteltuja rajoja.

Tässä yhteydessä herää kysymys: mikä rooli kansallisella asutusjärjestelmällä on valtion toiminnassa, ei yleensä jonkin abstraktin ihmisyhteisön toiminnassa. Mielestämme kansallisen alueellisen asutusjärjestelmän olemassaolon ja toiminnan päätarkoituksena on varmistaa nykyisen valtion ja siinä asuvan kansan kansallisen alueen tehokkain ja pitkäkestoisin valvonta. Alueellinen asutusjärjestelmä on eräänlainen "dominointirakenne", joka varmistaa alueen ja sillä käytettävissä olevien resurssien tehokkaimman kehityksen ja tehokkaimman

tämän kansallisen yhteiskunnan kehitystä sekä kokonaisuutena että sen yksittäisinä jäseninä. Ja tämän lisäksi kansakunnan suurimman vakauden varmistaminen mahdollisilta haitallisilta ulkoisilta vaikutuksilta. Tämän tehokkaan aluevalvonnan pääkriteerin noudattaminen tai noudattamatta jättäminen on avainasemassa arvioitaessa alueellisen asutusjärjestelmän laatua.

Johtopäätös

Siten meillä on teoriassa neljä mahdollista vastausta esitettyyn kysymykseen, millainen optimoinnin luonne kaupunkisuunnittelussa pitäisi olla:

1 Optimointi on mahdollista millä tahansa kolmesta erillisestä parametrista: ympäristöllinen, sosiaalinen tai taloudellinen, mitä he itse asiassa yrittivät tehdä neuvostokaudella aluesuunnittelujärjestelmän puitteissa, kun oletettiin, että optimointi on mahdollista saavuttaa. sosialistisessa ymmärryksessään taloudellisen parametrin mukaan.

2 Optimointi on mahdollista (ainakin teoreettisesti) kaikille kolmelle erilliselle parametrille samanaikaisesti, mikä tasoittaa niiden välisiä ristiriitoja. Tällainen optimointi on pohjimmiltaan lähellä konseptia kestävä kehitys, joka perustuu haluun tasapainottaa yhteiskunnan sosioekonomisia tarpeita ja niitä tarjoavia ympäristövalmiuksia.

3 Geopoliittisen parametrin mukainen optimointi, kun olemassa olevan valtion kansallisen alueen ja siinä asuvan kansan tehokkaan ja pitkäaikaisen hallinnan varmistaminen tulee ensiarvoisen tärkeäksi. Tämäntyyppinen optimointi vastaa tämän tutkimuksen metodologiaa ja näyttää lupaavimmalta.

4 Optimointi kaikille neljälle parametrille kerralla, kun saavutetaan yhtäaikainen ympäristöllisten, sosiaalisten, taloudellisten ja geopoliittisten parametrien optimointi. Tällaista optimointia voidaan kutsua superoptimoinniksi, kun kaikki parametrit optimoidaan samanaikaisesti. Tällaisen tilan saavuttaminen vaikuttaa erittäin kyseenalaiselta, mutta se on pidettävä mielessä

ihanteellisena lopputuloksena.

Luettelo käytetystä kirjallisuudesta

1 Shuper V.A. kaupunkiasutuksen itseorganisaatio/Venäjä. avoin yliopisto M., 1995.

2 Pokshishevsky V.V. Siperian asutus. Historiallisia ja maantieteellisiä esseitä. M., 1951.

3 Brazovskaya N.V. Optimointimenetelmät: oppikirja. korvaus / Altain osavaltio. tekniikka. Yliopisto nimetty I. I. Polzunova [Etäisyyskeskus. koulutus]. Barnaul, 2000.

4 Suuri Neuvostoliiton tietosanakirja. 3. painos M., 1975. T. 19.

5 Raizberg B. A., Lozovsky L. Sh., Starodubtseva E. B. Nykyaikainen taloussanakirja. 2. painos, rev. M., 1999.

6 Taloustiede: selittävä sanakirja. M., 2000.

7 Perevedentsev V.I. Menetelmät väestön muuton tutkimiseen, M., 1975.

8 Dubrovsky P. N. Kaupungin suurimmat mitat // Tiede ja tekniikka. 1970. Nro 6.

9 Mazaev A. G. Kansallinen alueellinen asutusjärjestelmä ohjaustekijänä: geopoliittinen lähestymistapa // Akateeminen tiedote UralNIIproekt RAASN. 2008. nro 1. s. 32-37.

10 Mazaev A.G. Uralin asutusjärjestelmän muodostuminen ja kehitys (XVII-XIX-luvut): vaiheet ja geopoliittiset piirteet // Akateeminen tiedote UralNIIproekt RAASN. 2014. nro 1. s. 10.

11 Mazaev A. G. Analyysi Uralin asutusjärjestelmän rakenteen kehityksestä (XIV - XX vuosisatojen lopulla) liukuvalla keskiarvomenetelmällä // Akateeminen tiedote UralNIIproekt RAASN. 2014. nro 3. s. 34.

Käytännössä jatkuvasti syntyy tilanteita, joissa tietty tulos voidaan saavuttaa ei yhdellä, vaan monella eri tavalla. Yksittäinen henkilö voi joutua samanlaiseen tilanteeseen esimerkiksi päättäessään kulujensa jakamisesta, ja koko yritys tai jopa toimiala, jos on tarpeen selvittää, miten käytössään olevia resursseja käytetään saavuttaa enimmäistuotannon ja lopuksi kansantalouden kokonaisuutena. Luonnollisesti ratkaisujen suuresta määrästä on valittava paras.

Suurimman osan taloudellisten ongelmien ratkaisemisen onnistuminen riippuu parhaasta, kannattavimmista tavoista käyttää resursseja. Ja toiminnan lopullinen tulos riippuu siitä, kuinka nämä yleensä rajoitetut resurssit jaetaan.

Optimointimenetelmien (optimaalisen ohjelmoinnin) ydin on tiettyjen resurssien saatavuuden perusteella valita niiden käyttö (jako) menetelmä, joka varmistaa kiinnostavan indikaattorin maksimin tai minimin.

Tarpeellinen ehto Optimaalisen suunnittelun (optimaalisuuden periaate) käyttö on joustavuutta, tuotannon vaihtoehtoisuutta ja taloudellisia tilanteita, joissa suunnittelu- ja johtamispäätöksiä on tehtävä. Juuri tällaiset tilanteet muodostavat pääsääntöisesti taloudellisen yksikön päivittäisen käytännön (tuotantoohjelman valinta, tavarantoimittajiin sitoutuminen, reititys, materiaalien leikkaus, seosten valmistus).

Optimaalinen ohjelmointi tarjoaa siis onnistuneen ratkaisun useisiin äärimmäisiin tuotannon suunnitteluongelmiin. Makrotaloudellisen analyysin, ennustamisen ja suunnittelun alalla optimaalinen ohjelmointi mahdollistaa kansallisen taloussuunnitelman (kehitysohjelman) muunnelman, jolle on tunnusomaista optimaalinen kulutuksen ja säästöjen suhde (kertymät), teollisten investointien optimaalinen osuus kansantulo, kansantalouden kasvukertoimen ja kannattavuuskertoimen optimaalinen suhde jne. .d.

Optimaalinen ohjelmointi varmistaa käytännössä arvokkaiden tulosten saamisen, koska se on luonteeltaan täysin yhdenmukainen tutkittavien teknisten ja taloudellisten prosessien ja ilmiöiden luonteen kanssa. Matemaattisesta ja tilastollisesta näkökulmasta tämä menetelmä soveltuu vain niihin ilmiöihin, jotka ilmaistaan ​​positiivisina suureina ja muodostavat kokonaisuutena toisistaan ​​riippuvaisten, mutta laadullisesti erilaisten suureiden liiton. Nämä ehdot vastaavat pääsääntöisesti taloudellisia ilmiöitä luonnehtivia määriä. Taloustieteen tutkijalla on aina edessään tietty joukko erilaisia ​​positiivisia suureita. Ratkaiseessaan optimointiongelmia taloustieteilijä ei aina käsittele yhtä, vaan useaa toisistaan ​​riippuvaista suuruutta tai tekijää.

Optimaalista ohjelmointia voidaan soveltaa vain niihin ongelmiin, joissa optimaalinen tulos saavutetaan vain tarkasti määriteltyjen tavoitteiden muodossa ja hyvin määritellyin rajoituksin, jotka yleensä johtuvat käytettävissä olevista resursseista (tuotantokapasiteetti, raaka-aineet, työvoimaresurssit jne.). Ongelman ehdot sisältävät yleensä jonkin matemaattisesti muotoillun järjestelmän toisistaan ​​riippuvaisia ​​tekijöitä, resursseja ja ehtoja, jotka rajoittavat niiden käytön luonnetta.

Ongelma tulee ratkaistavaksi, kun astumme siihen tiettyjä arvioita sekä toisistaan ​​riippuvaisten tekijöiden että odotettujen tulosten osalta. Näin ollen ohjelmointiongelman tuloksen optimaalisuus on suhteellinen. Tämä tulos on optimaalinen vain sen arviointiperusteiden ja ongelmaan asetettavien rajoitusten kannalta.

Edellä olevan perusteella mikä tahansa optimaalinen ohjelmointiongelma on tunnusomaista seuraavista kolmesta seikasta:

1) toisistaan ​​riippuvaisten tekijöiden järjestelmän olemassaolo;

2) tiukasti määritelty kriteeri optimaalisuuden arvioimiseksi;

3) käytettävissä olevien resurssien tai tekijöiden käyttöä rajoittavien ehtojen tarkka muotoilu.

Monista mahdollisista vaihtoehdoista valitaan vaihtoehtoinen yhdistelmä, joka täyttää kaikki ongelmaan asetetut ehdot ja antaa valitun optimaalisuuskriteerin minimi- tai maksimiarvon. Ongelman ratkaisu saavutetaan käyttämällä tiettyä matemaattista menettelyä, joka koostuu valittua tekijäyhdistelmää vastaavien rationaalisten vaihtoehtojen peräkkäisestä approksimaatiosta yhdeksi optimaaliseksi suunnitelmaksi.

Matemaattisesti tämä voidaan pelkistää jonkin funktion ääriarvon löytämiseen, eli ongelmaan, kuten:

Etsi max (min) f(x) edellyttäen, että muuttuja x (piste x) kulkee jonkin tietyn joukon X läpi:

f(x) ® max (min), x I Х (4,1)

Tällä tavalla määriteltyä ongelmaa kutsutaan optimointiongelmaksi. Joukkoa X kutsutaan tietyn ongelman hyväksyttäväksi joukoksi ja funktiota f(x) kutsutaan tavoitefunktioksi.

Optimointitehtävä on siis sellainen, jossa valitaan tietyn joukon hyväksyttäviä (eli tapauksen olosuhteiden sallimia) ratkaisuja (X) ne ratkaisut (x), jotka tavalla tai toisella voidaan luokitella optimaaliseksi. Lisäksi jokaisen ratkaisun hyväksyttävyys ymmärretään sen todellisen olemassaolon mahdollisuuden ja optimaalisuuden - tarkoituksenmukaisuuden kannalta.

Paljon riippuu siitä, missä muodossa hyväksyttävä joukko X on määritelty. Monissa tapauksissa tämä tehdään epäyhtälöjärjestelmällä:

q1 (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0,

q2 (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0, (4.2)

……………………………..

qm (x1, x2, … , xn) (? , = , ?) 0,

jossa q1, q2, … , qm ovat joitain funktioita, (x1, x2, … , xn) = x – reittipiste x määritellään useiden numeroiden (koordinaattien) joukolla, joka on piste n-ulotteisessa aritmeettisessa avaruudessa Rn. Näin ollen joukko X on Rn:n osajoukko ja muodostaa joukon pisteitä (x1, x2, ..., xn) I Rn ja joka täyttää epäyhtälöjärjestelmän (2.2.2).

Funktiosta f(x) tulee n muuttujan f(x1, x2, ..., xn) funktio, optimi (max tai min), joka täytyy löytää.

On selvää, että ei tarvitse löytää vain itse max (min) arvoa (x1, x2, ..., xn), vaan myös piste tai pisteet, jos niitä on useampi kuin yksi, jossa tämä arvo on saavutettu. Tällaisia ​​pisteitä kutsutaan optimaalisiksi ratkaisuiksi. Kaikkien optimaalisten ratkaisujen joukkoa kutsutaan optimijoukoksi.

Edellä kuvattu ongelma on yleinen optimaalisen (matemaattisen) ohjelmoinnin ongelma, jonka rakentaminen perustuu optimaalisuuden ja johdonmukaisuuden periaatteisiin. Funktiota f kutsutaan tavoitefunktioksi, epäyhtälöt (yhtälöt) qi (x1, x2, ... , xn) (? , = , ?) 0, i = 1, 2, ... , m ovat rajoituksia. Useimmissa tapauksissa rajoitukset sisältävät muuttujien ei-negatiivisuuden ehdot:

x1? 0, x2? 0, … , xn ? 0,

tai muuttujien osia. Tämä ei kuitenkaan välttämättä ole välttämätöntä.

Rajoitusfunktioiden ja tavoitefunktion luonteesta riippuen erotetaan erilaisia ​​matemaattisia ohjelmointityyppejä:

1. lineaarinen ohjelmointi – funktiot ovat lineaarisia;

2. epälineaarinen ohjelmointi – ainakin yksi näistä funktioista on epälineaarinen;

3. neliöllinen ohjelmointi – f(x) on neliöfunktio, rajoitukset ovat lineaarisia;

4. erotettava ohjelmointi – f(x) on kullekin muuttujalle erilaisten funktioiden summa, ehdot – rajoitukset voivat olla sekä lineaarisia että epälineaarisia;

5. kokonaislukuohjelmointi (lineaarinen tai epälineaarinen) – halutun pisteen x koordinaatit ovat vain kokonaislukuja;

6. konveksi ohjelmointi – tavoitefunktio on konveksi, funktiot – rajoitukset – ovat konveksia, eli otetaan huomioon konveksit funktiot konveksilla joukoilla jne..

Yksinkertaisin ja yleisin tapaus on, kun nämä funktiot ovat lineaarisia ja jokaisella niistä on muoto:

a1x1 + a2x2 + … anxn + b,

eli siinä on lineaarinen ohjelmointiongelma. On arvioitu, että tällä hetkellä noin 80-85 % kaikista käytännössä ratkaistavista optimointiongelmista on lineaarisia ohjelmointiongelmia.

Yhdistämällä yksinkertaisuuden ja realistiset oletukset, tällä menetelmällä on samalla valtava potentiaali valita parhaat suunnitelmat valitun kriteerin kannalta.

Ensimmäiset tutkimukset lineaarisen ohjelmoinnin alalla, joiden tavoitteena oli valita optimaalinen suunnitelma tuotantokompleksin teokset juontavat juurensa vuosisadamme 30-luvun lopulta, ja ne liittyvät L.V.:n nimeen. Kantorovich. Kotimaisessa tieteellisessä perinteessä häntä pidetään tämän menetelmän ensimmäisenä kehittäjänä.

30-luvulla intensiivisen taloudellisen ja teollisen kehityksen aikana Neuvostoliitto Kantorovich oli matemaattisen tutkimuksen eturintamassa ja pyrki soveltamaan teoreettista kehitystään kasvavan Neuvostoliiton talouden käytäntöön. Tällainen tilaisuus avautui vuonna 1938, kun hänet nimitettiin vaneritehtaan laboratorion konsultiksi. Hän sai tehtäväkseen kehittää resurssien allokointimenetelmä, joka; pystyi maksimoimaan laitteiston suorituskyvyn, ja Kantorovich, muotoillessaan ongelman matemaattisesti, tuotti lineaarisen funktion maksimoimisen, johon kohdistui suuri määrä rajoittimia. Ilman puhdasta talouskoulutusta hän kuitenkin tiesi, että maksimointi lukuisten rajoitusten alaisena on yksi talouden perusongelmista ja että vaneritehtaiden suunnittelua helpottavaa menetelmää voidaan käyttää monilla muillakin teollisuudenaloilla, olipa kyseessä sitten viljelymaan optimaalinen käyttö tai eniten liikennevirtojen tehokas jakautuminen.

Tämän menetelmän kehityksestä lännessä puhuttaessa on sanottava Tjalling Koopmansista, hollantilaista alkuperää olevasta amerikkalaisesta matemaattisesta taloustieteilijästä.

Kauppalaivastotehtävässä Koopmans pyrki kehittämään liittoutuneiden laivastojen reittejä siten, että lastin toimituskustannukset olisivat mahdollisimman pienet. Tehtävä oli erittäin monimutkainen: tuhannet kauppa-alukset kuljettivat miljoonia tonneja rahtia merireiteillä satojen satamien välillä hajallaan ympäri maailmaa. Tämä työ tarjosi Koopmansille mahdollisuuden soveltaa matemaattista tietämystään perustavanlaatuiseen taloudelliseen ongelmaan – niukkojen resurssien optimaaliseen jakamiseen kilpailevien kuluttajien kesken.

Koopmans kehitti analyyttisen tekniikan, jota kutsutaan aktiivisuusanalyysiksi, joka muutti dramaattisesti ekonomistien ja johtajien tapaa lähestyä reittien allokointia. Hän kuvaili tätä tekniikkaa ensimmäisen kerran vuonna 1942 kutsuen sitä "Vaihtosuhteiksi lastien välillä eri reiteillä", missä hän osoitti mahdollisuuden lähestyä jakeluongelmaa matemaattisena ongelmana maksimoimiseksi rajojen sisällä. Enimmäiskorotuksen kohteena oleva arvo on toimitetun lastin hinta, joka on jokaiseen satamaan toimitetun lastin kustannusten summa. Rajoituksia esitettiin yhtälöillä, jotka ilmaisevat kulutettujen tuotantotekijöiden (esimerkiksi laivat, aika, työ) määrän suhdetta eri kohteisiin toimitetun lastin määrään, jolloin minkään kustannusten arvo ei saisi ylittää käytettävissä olevaa määrää. .

Maksimointiongelman parissa työskennellessään Koopmans kehitti matemaattisia yhtälöitä, jotka ovat löytäneet laajan sovelluksen sekä talousteoriassa että johtamiskäytännössä. Nämä yhtälöt määrittelivät kullekin tuotantokustannuksille kertoimen, joka on yhtä suuri kuin tämän hinnan hinta ihanteellisilla kilpailumarkkinoilla. Näin muodostui perustavanlaatuinen yhteys tuotannon tehokkuutta koskevien teorioiden ja läpijakamisen teorioiden välille kilpailukykyiset markkinat. Lisäksi Koopmansin yhtälöillä oli suuri arvo keskussuunnittelijoille, jotka pystyivät määrittämään näiden yhtälöiden avulla sopivat hinnat eri panoksille, jättäen optimaalisten reittien valinnan paikallisten johtajien harkintaan, joiden vastuulla oli maksimoida voitot. Toiminta-analyysimenetelmää voisivat käyttää laajasti kuka tahansa esimies tuotantoprosessien suunnittelussa.

Vuonna 1975 L.V. Kantorovich ja Tjalling C. Koopmans saivat Nobel-palkinnon "panoksestaan ​​optimaalisen resurssien allokoinnin teoriassa".

Kun puhutaan ensimmäisestä tutkimuksesta lineaarisen ohjelmoinnin alalla, ei voida jättää mainitsematta toista amerikkalaista tiedemiestä - George D. Danzigia. Lineaarisen ohjelmointimenetelmän erityinen muotoilu juontaa juurensa hänen työstään USA:n ilmavoimille toisen maailmansodan aikana, jolloin syntyi ongelma yhden suuren organisaation toiminnan koordinoinnissa muun muassa varastoinnissa, laitteiden tuotannossa ja kunnossapidossa sekä logistiikassa. ja vaihtoehtoja ja rajoituksia oli. Lisäksi aikoinaan J. Danzing työskenteli yhdessä V.V. Leontiev ja lineaaristen optimointiongelmien ratkaisemiseen tarkoitettu simpleksimenetelmä (useimmiten niiden ratkaisemiseen käytetty) ilmestyivät yhden ensimmäisistä panos-tuotos tasapainomenetelmän käytännön sovelluksista yhteydessä.

JOHDANTO

JOHDANTO OPTIMOINTIMENETELMIIN

2. OPTIMOINTITEORIAN PERUSTEET
2.1 Suunnittele parametrit
2.2 Tavoitetoiminto (suunnitelma)

3. YHDEN MUUTTUJAN TOIMINTO
3.1 Yhden muuttujan funktion ja sen ominaisuuksien määrittely
3.2 Toiminnan tutkiminen taloustieteessä. Maksimivoiton löytäminen
3.3 Globaalin ääriarvon määritelmä
3.4 Kuperat, koverat funktiot
3.5 Optimaalisuuskriteeri
3.6 Optimien tunnistaminen

4. YKSI ULOTTEINEN OPTIMOINTI
4.1 Menetelmät välien poistamiseksi
4.1.1 Skannausmenetelmä
4.1.2 Menetelmä segmentin jakamiseksi puoliksi
4.1.3 Kultaisen suhteen menetelmä
4.1.4 Aikavälien poissulkemismenetelmien vertailuominaisuudet
4.2 Polynomiapproksimaatio ja pisteestimointimenetelmät
4.2.1 Parabolinen approksimaatiomenetelmä
4.2.2 Puellin menetelmä
4.3 Yksiulotteisten hakumenetelmien vertailu

5. MONIEN MUUTTUJIEN TOIMINNOT
5.1 Monien muuttujien funktiot, niiden nimitys ja määrittelyalue
5.2 Jotkut taloustieteessä käytetyt monimuuttujafunktiot
5.3 Monimuuttujafunktioiden osittaiset derivaatat
5.4 Osittaisten johdannaisten taloudellinen merkitys
5.5 Korkeamman asteen osittaiset johdannaiset
5.6 Useiden muuttujien funktion ominaisuudet
5.7 Suuntajohdannainen. Kaltevuus. Toimintotason rivit
5.8 Usean muuttujan funktion ääriarvo

6. MONIULOTTEINEN EHDOTON GRADIENTTIOPTIMOINTI
6.1 Menetelmien käsite
6.2 Gradienttilaskumenetelmä
6.3 Jyrkimmän laskun menetelmä

7. OPTIMAALSUSKRITEERIT RAJOITETTUIN ONGELMISEEN
7.1 Ongelmia tasa-arvon muodossa olevien rajoitusten kanssa
7.2 Lagrange-kertoimet
7.3 Lagrange-kertoimien taloudellinen tulkinta
7.4 Kuhn-Tuckerin ehdot
7.4.1 Kuhn-Tuckerin ehdot ja Kuhn-Tuckerin ongelma
7.5 Kuhn-Tuckerin lauseet
7.6 Satulapisteen olemassaolon edellytykset

8. DYNAAMISET OHJELMOINTIMALLIT
8.1 Dynaamisen ohjelmoinnin aihe
8.2 Dynaamisen ohjelmoinnin ongelman selvitys
8.3 Optimaalisuusperiaate ja dynaamisen ohjausprosessin matemaattinen kuvaus
8.4 Dynaamisen ohjelmointimenetelmän yleinen soveltamiskaavio
8.5 Kaksiulotteinen resurssien allokointimalli
8.6 Diskreetti dynaaminen malli optimaalisen resurssien allokoinnista
8.7 Optimaalisen laitteiston päivitysstrategian valitseminen
8.8 optimaalisen reitin valinta rahtikuljetukselle
8.9 Optimaalisen toimintosarjan rakentaminen sisään kaupallinen toiminta

LASKENTA- JA GRAAFISET TEHTÄVIEN SUORITTAMISTA JA REKISTERÖINTIÄ KOSKEVAT SÄÄNNÖT

LASKENTA- JA GRAAFISET TEHTÄVÄT 1

LASKENTA JA GRAAFISET TEHTÄVÄT 2

LASKENTA JA GRAAFISET TEHTÄVÄT 3

KIRJALLISUUS

JOHDANTO

Eri tietoalojen matematisointi ei ole tällä hetkellä uutta. Matemaattisten menetelmien laaja käyttöönotto monilla eri toiminta-aloilla nykyään ei enää yllätä ketään. Nämä eivät ole vain teknisiä ja taloustieteitä, joissa nämä menetelmät ovat jo pitkään kantaneet hedelmää, vaan myös erilaiset soveltavat johtamistieteet, jotka ovat nyt kehittymässä: johtaminen, johdon päätöksenteko, sosioekonominen ennustaminen jne.

Ammattitieteet kehittyvät omalla tavallaan käyttämällä olemassa olevaa matemaattista laitteistoa esiin tulevien ongelmien ratkaisemiseen ja jopa tarpeillaan stimuloivat tiettyjen matematiikan alojen kehitystä.

Tämä käsikirja on tarkoitettu optimointimenetelmiä opiskeleville talouden erikoisalojen opiskelijoille. Koska tämän kurssin materiaalin onnistuneeseen hallitsemiseen vaaditaan tietty vähimmäistieto korkeammasta matematiikasta, käsikirja kattaa nämä kohdat. Materiaalin mukana on vastaavat taloudelliset sovellukset. Jos taloustieteen sovellukset kiinnostavat itsenäisesti, ne on jaettu erityisiin osiin.

Opetusohjelma ei korvaa olemassa olevia opetusvälineet akateeminen suunnitelma, joka on omistettu laskennallisten menetelmien matemaattisille puolille. Päätehtävänä on perehtyä laskennallisiin menetelmiin ongelmien ratkaisun työkaluna, saada selkeä käsitys esitettyjen menetelmien loogisesta rakenteesta sekä niiden suhteellisista eduista ja haitoista.

Käsikirjan kanssa työskennellessä opiskelija tutustuu ensin teoreettiseen aineistoon, jonka jälkeen hän opiskelee käytännön osan, joka sijaitsee välittömästi teoreettisen osan jälkeen kussakin osiossa. Jokainen luku sisältää kontrollikysymyksiä, joissa opiskelija voi harjoittaa itsehillintää. Tämän jälkeen opiskelija jatkaa kokeen suorittamiseen, ohjelman tarjoama. Sitten testata lähetetty tarkistettavaksi. Jos arvioija havaitsee virheitä tai havaitsee puutteita tiedossa, on suositeltavaa palata asiaankuuluviin osiin ja käsitellä materiaalia uudelleen, kunnes se on täysin assimiloitunut.

Opetus- ja käytännön opas etäopiskelujärjestelmään tieteenalalla "Optimointimenetelmät ja ohjausteoria" on tarkoitettu opiskelijoiden itsenäiseen työhön ei-stationaarisella tiedonhallinnan muodolla.

Osana tieteenalaa opiskelijat suorittavat viisi laskenta- ja graafista tehtävää 3,5 vuotta opiskelevat opiskelijat suorittavat kaksi laskenta- ja graafista tehtävää - toisen ja kolmannen. Vastaavien ongelmien ratkaisua käsitellään käsikirjan teoreettisessa ja käytännön osassa.

Kurssin suoritettuaan opiskelijat tekevät kokeen. Testin kysymykset kootaan käsikirjan kunkin osan lopussa mainittujen tarkistuskysymysten perusteella.

Luku 1. JOHDANTO OPTIMOINTIMENETELMIIN

Termillä "optimointi" on hyvin laaja käyttö, ja siksi se voi riippua asiayhteydestä. Optimaalinen (latinan kielestä optimum - paras) - joukko suotuisimpia ehtoja; paras vaihtoehto ongelman ratkaisemiseksi tai tapa saavuttaa tavoite tietyissä olosuhteissa ja resursseilla. Taloudellinen optimi laajassa merkityksessä - tuotannon tehokkain toiminta, suppeassa mielessä - aineellisten resurssien paras käyttö, jolla saavutetaan mahdollinen maksimaalinen vaikutus tuotantoa tai mahdollisia vähimmäiskustannuksia.

Optimointi on prosessi, jossa valitaan paras vaihtoehto tai prosessi saatetaan järjestelmä parhaaseen (optimaaliseen) tilaan, joka koostuu kaikkien maksimoivien tai minimoivien elementtien tai satulapisteiden löytämisestä. Optimointi on taloudellisen analyysin ytimessä. Passiivisissa talousmalleissa (kuten yleistä tasapainoa tutkivissa) olemme kiinnostuneita päätöksentekijän optimaalisesta käyttäytymisestä. Aktiivisissa malleissa (kuten tehokkaassa kasvumalleissa) olemme itse kiinnostuneita saamaan optimi. SISÄÄN viime vuodet Panos-tuotosmalleista on pyritty siirtymään tuotantoprosessien analysointiin, yksinkertaisista kasvumalleista optimaalisen ja tehokkaan kasvun kulkureittejä tutkiviin malleihin.

Optimointimenetelmät– menetelmät funktion ääripään etsimiseksi (käytännön ongelmissa – optimiteettikriteerit) rajoituksin tai ilman niitä käytetään hyvin laajasti käytännössä. Tämä on ennen kaikkea optimaalinen suunnittelu (parhaiden nimellisten teknisten tilojen valinta, rakenneosat, teknisten ketjujen rakenne, olosuhteet Taloudellinen aktiivisuus, kannattavuuden lisääminen jne.), optimaalinen ohjaus ei-matemaattisten ohjausobjektien mallien rakentamiseen (jäännösten minimoiminen) erilaisia ​​rakenteita malli ja todellinen esine) ja monia muita näkökohtia ratkaista taloudelliset ja sosiaaliset ongelmat(esimerkiksi varastonhallinta, työvoimaresurssit, liikennevirrat jne.).

Optimointimenetelmät ovat osa matemaattista mallintamista.

Nämä aiheet kattavat laajan joukon erilaisia ​​matemaattisia mallinnusongelmia, joita syntyy tutkittaessa teollisen tuotannon todellisia kohteita, taloudellisia, rahoituksellisia ja muita ongelmia.

Malli- tämä on materiaalinen tai henkisesti kuviteltu esine, joka tutkimusprosessissa korvaa alkuperäisen kohteen niin, että sen suora tutkimus tarjoaa uutta tietoa alkuperäisestä kohteesta.

Jotta optimointiteorian matemaattisia tuloksia ja numeerisia menetelmiä voidaan käyttää tiettyjen ongelmien ratkaisemiseen, on välttämätöntä:

· määrittää optimoitavan järjestelmän rajat;

· määrittää määrällinen kriteeri, jonka perusteella on mahdollista analysoida vaihtoehtoja "parhaan" tunnistamiseksi;

· valita järjestelmän sisäiset muuttujat, joita käytetään määrittämään ominaisuuksia ja tunnistamaan vaihtoehtoja;

· rakentaa muuttujien välisiä suhteita kuvaava malli.

Tämä toimintosarja muodostaa sisällön optimointiongelman muotoiluprosessi .

Tarkastellaan joitain käytännön toiminnassa kohdattuja matemaattisen mallinnuksen ongelmia mieluummin kuin muodollisessa matemaattisessa tulkinnassa.

Optimaalisen resurssien allokoinnin ongelmat. Yleisesti ottaen nämä tehtävät voidaan kuvata seuraavasti. On olemassa tietty määrä resursseja, jotka voidaan ymmärtää käteisenä, materiaalivaroina (esim. raaka-aineet, puolivalmisteet, työvoimaresurssit, erilaiset laitteet jne.). Nämä resurssit tulee jakaa eri käyttökohteiden kesken eri aikajaksoille tai eri kohteiden kesken siten, että valitusta jakelumenetelmästä saadaan maksimaalinen kokonaistehokkuus. Tehokkuusindikaattori voi palvella esimerkiksi voittoa, markkinoitavia tuotteita, pääoman tuottavuutta (optimaalisuuskriteerin maksimointitehtävät) tai kokonaiskustannuksia, kustannuksia, tietyn työmäärän tekemiseen kuluvaa aikaa jne. (optimiteettikriteerin minimoimiseen liittyvät ongelmat).

Alkuperäinen määrä varoja on olemassa P 0, joka on jaettava P vuosia välillä S yrityksille. Keinot ja ki (k = 1,..., n; i = 1,..., S), korostettuna k-m vuosi i-th yritys, tuottaa tuloja määrän f ki (u ki) ja vuoden loppuun mennessä niiden määrä palautuu j ki (u ki). Myöhemmässä jaossa tulot voivat joko osallistua (osittain tai kokonaan) tai olla osallistumatta.

On määriteltävä sellainen resurssien jakamistapa (jokaiselle yritykselle kullakin suunnitelmavuodella kohdennettujen varojen määrä), jotta kokonaistulot S yrityksiä varten P vuotta oli maksimi. Siksi resurssien allokointiprosessin tehokkuuden indikaattorina P vuodesta saadut kokonaistulot S yritykset:

Resurssien määrä alussa kth vuosia leimaa arvo Pn 1(tilaparametri). Hallinta päällä k-tilavuus vaihe on muuttujien valitseminen u k 1 , u k 2 , …, u ks, joka osoittaa kohdennetut resurssit k-tilavuus vuosi i-th yritys.

Jos oletetaan, että tulot eivät osallistu jatkojakoon, niin prosessitilayhtälöllä on muoto

Jos osa tuloista on jonakin vuonna mukana jatkojaossa, niin vastaava arvo lisätään viimeisen yhtälön oikealle puolelle.

Tarve määrittää n s ei-negatiiviset muuttujat ja ki, ehtojen (2) ja maksimoivan toiminnon (1) täyttäminen.

Optimaalinen varastonhallinta. Optimaalista varastonhallintaa harkitsevien ongelmaluokka on yksi monimutkaisimmista. Tämä johtuu siitä, että varastonhallintaongelmissa prosessi etenee luonnollisesti ajan mittaan ja hallinta koostuu siitä, että tietyllä ajanjaksolla tehdään päätös ottaen huomioon se tila, johon järjestelmä on päätynyt aikaisemmilla jaksoilla. Lisäksi nämä ongelmat liittyvät yleensä muuttujien diskreettiin luonteeseen ja ovat siksi melko vaikeita ratkaista.

Varastonhallinnan ongelma on yksi tärkeimmistä taloudellisten ja matemaattisten menetelmien käytännön soveltamisen alueista, mukaan lukien matemaattiset ohjelmointimenetelmät.

Varastonhallintaongelmia laadittaessa käytetään seuraavia käsitteitä.

Varaukset - tämä on mikä tahansa rahallinen tai aineellisia arvoja, joita täydennetään ajoittain (tuotetaan, toimitetaan jne.) ja varastoidaan jonkin aikaa, jotta ne kuluttaisivat myöhempinä ajanjaksoina. Varaston taso milloin tahansa määräytyy alkuperäisen varastotason lisättynä täydennyksellä ja miinuskulutuksella alkuhetkestä nykyiseen.

Varastojen hallinta koostuu yleensä kahden päätekijän - täydennyksen ja kulutuksen - väliseen suhteeseen vaikuttamisesta. Johdon tavoitteena on optimoida jokin kriteeri riippuen varaston varastointikustannuksista, tarvikkeiden kustannuksista, täydentämiseen liittyvistä kustannuksista, sakoista jne.

Tällaisessa yleisessä formulaatiossa tällaisilla ongelmilla voi olla laaja valikoima käytännön sovelluksia. Esimerkiksi varastolla voidaan ymmärtää yrityksen tuotteita, joita valmistetaan jatkuvasti (täydennys) ja toimitetaan kuluttajille tietyissä erillisissä erissä (kulutus). Tässä tapauksessa tuotteiden kysynnän oletetaan olevan ennalta määrättyä (deterministinen kysyntä) tai satunnaisten vaihteluiden alainen (stokastinen ongelma). Varastonhallinta koostuu tarvittavan tuotannon koon määrittämisestä tietyn kysynnän tyydyttämiseksi. Tavoitteena on minimoida varastoinnin ja varastojen täydentämisen kokonaiskustannukset.

Varastot voidaan ymmärtää erillisissä erissä toimitettujen raaka-aineiden tai muiden materiaalien varastoina (täydennys), joiden tarkoituksena on varmistaa jatkuva kulutus tuotantoprosessin aikana (kulut). Optimaalisuuskriteerinä voivat olla varaston varastoinnin, käyttöpääoman jäädyttämisen ja varaston toimittamisen kokonaiskustannukset.

Varasto voi olla tavaroita, jotka toimitetaan myymälään tiettyinä määrinä ja jotka on tarkoitettu tyydyttämään jatkuvaa, mutta asiakkaan kysynnän satunnaista vaihtelua. Optimaalisuuskriteerinä ovat tarvikkeiden, varaston varastoinnin ja tuotantorytmin muutosten kokonaiskustannukset; yhteyttä kysynnän vaihteluihin.

Varastot voivat olla myös rajoitetun kapasiteetin varastoon varastoitua kausitavaraa. Tavaroita voidaan ostaa ja myydä vaihtelevia määriä hinnoilla, jotka muuttuvat ajan myötä. Ongelmana on määrittää osto- ja myyntipolitiikka, joka takaa maksimaalisen kokonaisvoiton, ja on esimerkki varastointiongelmasta.

Vaihto-ongelmat. Yksi tärkeimmistä käytännössä kohdatuista taloudellisista ongelmista on optimaalisen strategian määrittäminen vanhojen koneiden, tuotantorakennusten, yksiköiden, koneiden jne. eli vanhojen laitteiden korvaamiseksi uusilla.

Laitteen ikääntyminen sisältää sen fyysisen ja moraalisen kulumisen, jonka seurauksena tuotantokustannukset tuotteiden valmistuksessa vanhoilla laitteilla nousevat, korjaus- ja huoltokustannukset nousevat ja samalla tuottavuus ja ns. likvidiarvo laskevat.

Tulee aika, jolloin on kannattavampaa myydä vanhat laitteet ja korvata ne uusilla kuin käyttää niitä suurilla kustannuksilla. Tällöin laitteet voidaan korvata joko uusilla samantyyppisillä laitteilla tai uusilla, teknisesti edistyneemmillä laitteilla ottaen huomioon tekniikan kehitys.

Optimaalinen strategia laitteiden vaihtamiselle on määrittää optimaalinen vaihdon ajoitus. Vaihdon ajankohtaa määritettäessä optimikriteerinä voi olla joko laitteiston käytöstä saatava hyöty, joka tulee maksimoida, tai kokonaiskäyttökustannukset tarkastelujakson aikana, jotka tulisi minimoida.

Optimaaliset ohjausongelmat. Tyypillisesti tämän tyyppiset ongelmat sisältävät tehtäviä, jotka liittyvät jatkuvan ohjaustoiminnon löytämiseen ajan kuluessa. Taloustieteessä nämä ovat ensisijaisesti kehityssuuntien ennustamisen ongelmia, pitkän aikavälin investointeja jne. Esimerkiksi kokonaiskulutusrahaston optimointiongelma, jossa sijoituksen määrää ajan funktiona pidetään ohjausvaikutuksena (ongelmana). voidaan muotoilla investointiviiveen kanssa tai ilman, diskontatun kulutuksen maksimointiongelma jne.

Kaikki mainitut ongelmaluokat (ja niiden kokoonpano ei ole läheskään täydellinen) vaativat erityisten matemaattisten lineaarisen ja epälineaarisen ohjelmoinnin, dynaamisen ohjelmoinnin, maksimiperiaatteen ja joidenkin muiden menetelmien käyttöä niiden ratkaisemiseksi. Olennainen osa laskennallista työtä käsiteltyjen ongelmien ratkaisemisessa voivat olla epälineaaristen yhtälöiden ja niiden järjestelmien ratkaisutehtävät, integraalien laskeminen, differentiaaliyhtälöiden ratkaiseminen jne.

Numeerisia optimointimenetelmiä on melko paljon. Tärkeimmät voivat olla luokitella seuraavalla tavalla:

· ratkaistavan ongelman ulottuvuuden mukaan: yksiulotteinen ja moniulotteinen;

Askelmuodostusmenetelmän mukaan moniulotteiset menetelmät jaetaan seuraaviin tyyppeihin:

q gradientti:

o gradientin laskentamenetelmällä: parinäytteellä ja keskusnäytteellä;

o sävelkorjausalgoritmin mukaan;

o uuden pisteen laskenta-algoritmin mukaan: yksivaiheinen ja monivaiheinen;

q gradienttivapaa: vaihtelevilla muuttujien muutoksilla ja samanaikaisilla muuttujien muutoksilla;

q satunnainen haku: puhtaasti satunnaisella strategialla ja sekastrategialla;

· aktiivisten rajoitusten olemassaolon mukaan;

· ilman rajoituksia (ehdoton);

· rajoituksin (ehdollinen);

· tasa-arvon kaltaisilla rajoituksilla;

· rajoituksilla, kuten eriarvoisuudella;

· sekoitettu.

Yksiulotteiset optimointimenetelmät ovat joidenkin "moniulotteisten" menetelmien perusta. Moniulotteisessa gradienttioptimoinnissa parannussekvenssi konstruoidaan riippuen kriteerin muutosnopeudesta eri suuntiin. Tässä tapauksessa parantavalla sekvenssillä tarkoitamme seuraavaa sekvenssiä x 0, x 1, …, x i, …, jokaisessa pisteessä optimikriteerin arvo on parempi kuin edellisessä. Gradienttivapaissa menetelmissä parannussekvenssiä rakennettaessa askeleen suuruus ja suunta kohti optimia muodostetaan yksiselitteisesti tiettyjen determinististen funktioiden mukaan riippuen optimaalisuuskriteerin ominaisuuksista nykyisen pisteen läheisyydessä käyttämättä derivaattoja (eli gradienttia). ). Korkeadimensionaalisissa ongelmissa käytetään satunnaisia ​​menetelmiä. Monimuuttujaehdollinen optimointi ottaa huomioon aktiiviset rajoitteet, jotka ilmaistaan ​​yhtäläisyyksinä ja epäyhtälöinä. Jokaisella tarkastelulla alueella on suuri joukko menetelmiä, joilla on omat etunsa ja haittansa, jotka riippuvat ennen kaikkea niiden funktioiden ominaisuuksista, joiden ääripäätä haetaan. Yksi menetelmän laadun vertailuindikaattoreista on funktioarvojen määrä, jotka on laskettava tietyn virheen ongelman ratkaisemiseksi. Mitä pienempi tämä luku, sitä toinen yhtäläiset olosuhteet tehokkaampi tapa.

Teoreettisissa ja matemaattisissa ongelmissa on tapana nähdä optimointitehtävät funktion minimin löytämisen ongelmina. Jopa menetelmillä on yhteinen nimi - laskeutumismenetelmät. Todellisia käytännön ongelmia ratkaistaessa kuitenkin usein tulee ongelmia mahdollisimman paljon (esimerkiksi tulojen maksimoiminen, tuotantovolyymi jne.). Tietysti on helppo siirtyä ääripäätyypistä toiseen muuttamalla optimaalisuuskriteerin etumerkkiä, mutta näin ei aina tehdä sovelletuissa ei-matemaattisissa ongelmissa, jotta ongelman merkityksellinen lanka ei menetä.

Kysymyksiä luvusta 1

1. Miksi taloustieteessä on tarpeen käyttää matematiikkaa?

2. Mikä on matemaattinen malli?

3. Miten taloudellisen ilmiön ja kohteen matemaattinen malli rakennetaan? Anna esimerkki mallin rakentamisesta.

4. Mitä optimointi on?

5. Mitä optimointimenetelmiä on olemassa?

6. Mitä taloudellisia ongelmia optimointimenetelmillä ratkaistaan?

Luku 2. OPTIMOINTITEORIAN PERUSTEET

Termi "optimointi" tarkoittaa prosessia, jonka avulla voidaan saada jalostettu liuos. Vaikka optimoinnin perimmäisenä tavoitteena on löytää paras eli "optimaalinen" ratkaisu, yleensä joudutaan tyytymään tunnettujen ratkaisujen parantamiseen niiden täydentämisen sijaan. Siksi optimointi ymmärretään pikemminkin haluksi täydellisyyteen, jota ei välttämättä saavuteta.

Kun otetaan huomioon jokin mielivaltainen kuvattu järjestelmä m yhtälöt kanssa n tuntematon, voidaan erottaa kolme päätyyppiä ongelmia:

· Jos m = n, Tuo h Ongelmaa kutsutaan algebraksi. Tällainen tehtävä yleensä on ainoa päätös;

· Jos m > n, sitten tehtävä määritellään yleensä uudelleen, ei ole ratkaisuja;

· Jos m< n , niin ongelma on alimääritetty, on äärettömän monta ratkaisua.

Käytännössä joudumme useimmiten käsittelemään kolmannen tyyppisiä ongelmia.

Otetaan käyttöön joukko määritelmiä.

2.1. Suunnitelmavaihtoehdot

Määritelmä. Suunnitelmavaihtoehdot– nämä ovat riippumattomia muuttujaparametreja, jotka määrittävät täysin ja yksiselitteisesti ratkaistavan ongelman.

Nämä ovat tuntemattomia suureita, joiden arvot lasketaan optimointiprosessin aikana. Suunnitteluparametreina voivat toimia mitkä tahansa perus- tai johdetut suureet, jotka kuvaavat järjestelmää kvantitatiivisesti.

Esimerkiksi, Pituuden, massan, ajan ja lämpötilan arvoja voidaan pitää parametreina.

Suunnitteluparametrien määrä kuvaa tietyn suunnitteluongelman monimutkaisuuden astetta.

Merkintä. Yleensä suunnitteluparametrien lukumäärä on merkitty n, x– itse suunnitteluparametrit vastaavilla indekseillä

x 1, x 2, …, x n – n ongelman suunnitteluparametreja.

2.2. Tavoitetoiminto (suunnitelma)

Määritelmä. Objektiivinen toiminto– lauseke, jonka arvosta pyrimme tekemään maksimin tai minimin.

Tavoitefunktio mahdollistaa kahden vaihtoehtoisen ratkaisun kvantitatiivisen vertailun. Matemaattisesta näkökulmasta tavoitefunktio kuvaa joitakin (n+1)-mittainen pinta.

1) Jos suunnitteluparametreja on vain yksi, tavoitefunktio voidaan esittää käyrällä tasolla (kuva 1).

2) Jos suunnitteluparametreja on kaksi, kohdefunktio kuvataan pintana kolmiulotteisessa avaruudessa (kuva 2).

Määritelmä. Kolmella tai useammalla suunnitteluparametrilla kutsutaan tavoitefunktion määrittelemiä pintoja hyperpinnat eikä sitä voida kuvata tavanomaisin keinoin.

Tavoitefunktio voidaan esittää useissa tapauksissa:

paloittain sileä toiminto;

· pöytä;

· vain kokonaislukuarvot;

· kaksi arvoa – kyllä ​​tai ei (diskreetti funktio).

Olipa tavoitefunktio missä muodossa tahansa, sen on oltava suunnitteluparametrien yksiselitteinen funktio.

Useat optimointiongelmat edellyttävät useamman kuin yhden tavoitefunktion käyttöönottoa. Joskus yksi niistä voi olla yhteensopimaton toisen kanssa. Esimerkki on lentokonesuunnittelu, jossa vaaditaan samanaikaisesti maksimilujuutta, vähimmäispainoa ja vähimmäiskustannuksia. Tällaisissa tapauksissa suunnittelijan on otettava käyttöön prioriteettijärjestelmä. Tuloksena on "vaihtofunktio", joka mahdollistaa yhden yhdistetyn tavoitefunktion käytön optimointiprosessin aikana.

Kysymyksiä luvusta 2

1. Mitkä ovat suunnitelman parametrit?

2. Anna esimerkki suunnitelman parametreista.

3. Määritä tavoitefunktio.

4. Miten tavoitefunktio on kuvattu?